Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 31

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 117 >> Следующая


Применим, следуя Пуанкаре (Н. Poincare), этот результат к ограииченнной задаче трех лет. В обозначениях предыдущего параграфа уравнения движения астероида имеют вид уравнений Лагранжа с лагранжианом

Эти уравнения можно представить в гамильтоновом виде с гамильтонианом

H = ±(X2+Y2) + yX-xY-G, G = JL + -b±L,

где Х=х—у, Y=y+x — канонические импульсы, сопряженные с координатами х, у. Согласно теореме Лиувилля, фазовый поток этой системы, обозначим его g\ сохраняет обычную меру Лебега (Н. L. Lebesgue) в Я4= {Я. Y, х, у).

Рассмотрим множество всех точек фазового пространства, для которых справедливо неравенство Cj<—Н<с2, где С\ и C2 — достаточно большие положительные постоянные. Как мы видели в § 5, при этом предположении точка (х,у) лежит в одной из трех связных подобластей области Хилла {G^C|}. Выберем одну из двух областей, содержащих Солнце или Юпитер. Ей будет соответствовать связная область в фазовом пространстве. Очевидно, эта область инвариантна относительно действия gИз нее надо выбросить траектории столкновения; их объединение имеет нулевую меру. Обозначим оставшееся множество через М. Нам надо показать, что его мера конечна. Действительно, координаты (х, у) точек из M принадлежат ограниченному множеству плоскости R2 = {х,у}. Допустимые импульсы X, Y подчинены неравенствам

2 (G-C2) < (Y+x)»+ (X—у)2<2 (G-Ci), которые являются следствием интеграла Якоби. Эти неравенства определяют в плоскости /?2= {X, У} круговое кольцо, площадь которого не превосходит 2я(C2-Ci). Из этих замечаний вытекает конечность ц(Л1) и, следовательно, возможность применения теоремы Пуанкаре о возвращении: для почти всех рШ полутраектория g'(p) пересекается с любой окрестностью точки р при сколь угодно больших значениях t. Такие движения названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону.

6.2. Вероятность захвата. Пусть снова V—измеримое множество положительной меры. Для n6N через Vn обозначим множество точек из V, для которых gk(p)eV при всех О <?<Л.

15-1

89 Очевидно включение: Vя'із Vr я\ если пх<пг. Положим

B = П Vn.

л>0

Множество В измеримо и н (5) < оо. Если р?В, то, конечно, Г+рб1/ для всех п> 0.

Положим Bn=g"(B). Все множества Bn измеримы и снова BniZiB'", если пі<п2. Множество

?> = П ВпаВ

л>0

тоже измеримо. Если p&D то, очевидно, ГрбУ.

Предложение 6. n(?\D)=0.

Чтобы это утверждение, не было бессодержательным, нужно сначала показать, что ц(Я)>0. Однако в конкретных задачах доказательство этого факта может оказаться существенной трудностью. Предложение 6, восходящее к Шварцшильду (К. Schwarzschild), справедливо, конечно, и в том случае, когда время п непрерывно.

Предположим, например, что система Солнце—Юпитер «захватила» из окружающего пространства астероиды («греков» и «троянцев») в окрестность треугольных точек либрации. Предложение 6 сразу дает нам нулевую вероятность этого события. Таким образом, явления «захвата» в небесной механике следует рассматривать лишь в математических моделях, учитывающих диссипацию энергии.

Более интересным приложением является следующее рассуждение Литлвуда (J. Littlwood). Рассмотрим задачу п тел с покоящимся центром масс. Движение точек описывается гамильтоновой системой; функция Гамильтона H регулярна в области, где их взаимные расстояния гм>0. Для произвольного с>1 рассмотрим открытое множество А (с) точек фазового пространства, где выполнены неравенства

c~l<rhl<c (\<^k<l<^n), —ССНСС.

Поскольку А (с) ограничено, то \i(A (с)) <оо. Следовательно, согласно предложению 6, множество точек В (с), которые остаются в А (с) при t^О, лишь на множество нулевой меры превосходит множество D (с) точек, которые находятся в А {с) при всех /6/?.

Если Ci<C2> то, очевидно, Л (c1)c Л (c2), B(C1)ClB(C2) fc D (Cl)CzD (с2). Поэтому соответствующее утверждение справедливо и для множеств

a=ua(c), B=\jB{c), D=DD(C).

OX Ol Ol

Для точек pe? взаимные расстояния гм для всех t^O остаются ограниченными сверху и снизу некоторыми положительными постоянными, зависящими от р. Для точек p?D это свойст-

16-2 во имеет место для всех значений t. Почти все точки из D принадлежат В.

Пусть, например, планетная система устойчиза «в прошлом». Если она захватывает новое тело, скажем, пылинку, приходящую из бесконечности, то образовавшаяся система тел уже потеряет свойство устойчивости: с вероятностью единица либо произойдет столкновение, либо одно из тел снова уйдет в бесконечность. Причем совсем ие обязательно, что именно пылинка покинет Солнечную систему. Уйти может Юпитер или даже Солнце.

Глава 3

ГРУППЫ СИММЕТРИЯ И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

§ 1. Симметрии и линейные интегралы

1.1. Теорема Нётер. Пусть (М, L) —лагранжева система и V — гладкое поле на М. С полем v связана однопараметриче-ская группа диффеоморфизмов ga: М-*-М, определяемая дифференциальным уравнением

g* (X)=-Oig* (x)) (1)

и начальным условием g°(X) —х.

Определение. Лагранжева система (М, L) допускает группу если лагранжиан L инвариантен относительно отображений : ТМ-*-ТМ. Группу g естественно назвать группой симметрий, а поле v— полем симметрий.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed