Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
a(q)-q=0. (46)
Такие движения, отличные от равновесий, конечно, не всегда существуют. Трение с диссипативной функцией Fn называют еще анизотропным.
Пусть q(t, N)—решение уравнения с начальным условием, не зависящим от N.
Теорема 10. При N-+00 на каждом конечном промежутке времени (Xts^t0 существует предел
lim q(t, N)*=q(t). (47)
Ar-.со
Предельная функциі удэзлгтворлет систем нгголономных уравнений
\L\ = ka, а (<7)-</ = 0.
В частности, q(t) удозл атвор лет линеГпиму уравнению связи (46).
Если начальное состояние (qo,qo) выбрать из множества решений уравнения a(q)-q — 0, то предел (47) будет существовать при / = 0 и сходимость будет равномерной на каждом конечном промежутке времени. В общем случае эта сходимость неравномерна в интервале 0</^/о.
Теорема 10 выволнтся из известной теоремы Тихонова о сингулярно возмущенных системах (см. [58], [75]). Идея
55реализации линейных по скоростям связей с помощью сил вязкого трения и трвыс результаты в этом направлении принадлежат Каратеодори [144].
Рассмотрим с этой точки зрения упоминавшуюся в § 2 задачу неголономной механики о качении однородного шара внутри вертикально поставленной трубы большего радиуса. Допустим теперь, что шар может проскальзывать и пусть — ненулевая скорость точки контакта. Введем силу вязкого трения, приложенную к точке касания и равную—kv, где к = — const>0. При достаточно больших значениях k движение такого шара будет близко к качению неголономного шара и, следовательно, по крайней мере, в первые моменты времени можно будет наблюдать движение шара с трением вверх Jio трубе.
6.4. Присоединенные массы. Рассмотрим движение натуральной системы с лагранжианом
Ly = 2" (A (q) q-'q) + % (a (q) -q)*-U (q),
зависящим от параметра N> 0. Здесь снова a (q) — ненулевое ковекторное поле, заданное на пространстве положений.
Пусть q(t, N) — движение с начальным состоянием <70, qu, таким, что a (q0)-Cf0 = 0.
Теорема 11 (см. [83]). При Ar-* оо на каждом конечном промежутке времени O-^CJf0 существует предел
lim<7(<, N) = q{t).
Л'-*30
Предельная функция является экстремалью вариационной за" дачи Лагранжа о стационарном значении функционала
і,
^Lodt, /-о= 2 Aq-'q — U, і,
с линейным ограничением a-'q = 0.
Следовательно предельное движение q(-) является движением вакономной системы с функцией Лагранжа L0 и со связью a-'q = 0.
Рассмотрим этот предельный переход подробнее. При N>0 обычным способом введем канонические импульсы
P= Aq + N (a-q)а.
Разрешая это уравнение относительно скоростей
л'_ А'1ра „ і__1__А-1р-а
ЛЧ-Р л-'а-а а+ l+ATU-'e-a) A^aattt
мы видим, что при N <ж> оно переходит в равенство
56с помощью которого вводятся импульсы в вакономной механике.
Рассмотрим движения голономной системы при N>0 с начальными данными
q (0)=<7о. Pa (0) = ро+аа, об/?,
где Po=Aq0 и a(q0)-q0=O. Когда о=0, то получим начальные условия, о которых идет речь в теореме 11. При фиксированном значении о начальные условия q (0) н ^a(O)=A'1 (q0) ра (0) удовлетворяют уравнению a-q = 0 с точностью до 1/ЛЛ
Гамильтониан голономной системы с лагранжианом Ln равен HN = Ho-\-0(\jN), где H0 — вакономная функция Гамильтона (см. § 4). Следовательно, при фиксированном а и N-*- оо существует предел
lim qa(t, N) = qa(t), (48)
/V-оо
который представляет едно из движений вакономной системы, с лагранжианом L0 и со связью a-q=0.
При N-*-oo начальное состояние q(0) и qa(0) ие зависит от а, однако предел (48) в случае неинтегрируемых связей существенно зависит от параметра а (см. § 4). Таким образом, когда N велико, то ошибки в начальных условиях порядка 1JN могут порождать конечные отклонения на временах 1. В этом состоит одно из качественных объяснений недетерминированного поведения вакономных систем.
Пример 11. Покажем, как можно физически реализовать движение вакономного конька по наклонной плоскости, изученное нами в § 4. Для этого рассмотрим движение в безграничной идеальной жидкости удлиненной невесомой эллиптической пластинки с жестко закрепленными точками положительной массы (см. рис. 7). Предположим, что на точки действует лишь сила тяжести. Симметрия задачи допускает движения, при которых ось X горизонтальна, а оси у и г постоянно лежат в некоторой вертикальной плоскости.
8-1
Рис. 7
57Пусть и — проекция угловой скорости тела на ось х, а и, V — проекции скорости центра масс на оси у, г. Рассмотрим вначале движение эллипсоида
а1 ' Ьг ' с1
в однородной жидкости с плотностью р. Кинетическая энергия жидкости равна
J- (Лй)2 + 5и2 + с®»), (49)
где
л = J _(»---О* (".-р.)_1 b
B = -T^inPabc' T "P^c-
оо со
Po=sa^g Л) О' Vo = AftC^
U о
D = /(а2 + Х)(г>2 +л) (с2 + X):
Эти формулы можно найти, например, в книге Ламба (Н. Lamb) [162].
Устремим с к нулю и положим Ь = е, а = е~а. Считая е малым, из этих соотношений можно получить следующие асимптотические формулы:
А ~ яр»4-«, B = О, С~ яре2-а.
Таким образом, если 2<а<4, то Л-»-0, a С-*-оо при в->-0.