Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 20

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 117 >> Следующая


a(q)-q=0. (46)

Такие движения, отличные от равновесий, конечно, не всегда существуют. Трение с диссипативной функцией Fn называют еще анизотропным.

Пусть q(t, N)—решение уравнения с начальным условием, не зависящим от N.

Теорема 10. При N-+00 на каждом конечном промежутке времени (Xts^t0 существует предел

lim q(t, N)*=q(t). (47)

Ar-.со

Предельная функциі удэзлгтворлет систем нгголономных уравнений

\L\ = ka, а (<7)-</ = 0.

В частности, q(t) удозл атвор лет линеГпиму уравнению связи (46).

Если начальное состояние (qo,qo) выбрать из множества решений уравнения a(q)-q — 0, то предел (47) будет существовать при / = 0 и сходимость будет равномерной на каждом конечном промежутке времени. В общем случае эта сходимость неравномерна в интервале 0</^/о.

Теорема 10 выволнтся из известной теоремы Тихонова о сингулярно возмущенных системах (см. [58], [75]). Идея

55 реализации линейных по скоростям связей с помощью сил вязкого трения и трвыс результаты в этом направлении принадлежат Каратеодори [144].

Рассмотрим с этой точки зрения упоминавшуюся в § 2 задачу неголономной механики о качении однородного шара внутри вертикально поставленной трубы большего радиуса. Допустим теперь, что шар может проскальзывать и пусть — ненулевая скорость точки контакта. Введем силу вязкого трения, приложенную к точке касания и равную—kv, где к = — const>0. При достаточно больших значениях k движение такого шара будет близко к качению неголономного шара и, следовательно, по крайней мере, в первые моменты времени можно будет наблюдать движение шара с трением вверх Jio трубе.

6.4. Присоединенные массы. Рассмотрим движение натуральной системы с лагранжианом

Ly = 2" (A (q) q-'q) + % (a (q) -q)*-U (q),

зависящим от параметра N> 0. Здесь снова a (q) — ненулевое ковекторное поле, заданное на пространстве положений.

Пусть q(t, N) — движение с начальным состоянием <70, qu, таким, что a (q0)-Cf0 = 0.

Теорема 11 (см. [83]). При Ar-* оо на каждом конечном промежутке времени O-^CJf0 существует предел

lim<7(<, N) = q{t).

Л'-*30

Предельная функция является экстремалью вариационной за" дачи Лагранжа о стационарном значении функционала

і,

^Lodt, /-о= 2 Aq-'q — U, і,

с линейным ограничением a-'q = 0.

Следовательно предельное движение q(-) является движением вакономной системы с функцией Лагранжа L0 и со связью a-'q = 0.

Рассмотрим этот предельный переход подробнее. При N>0 обычным способом введем канонические импульсы

P= Aq + N (a-q)а.

Разрешая это уравнение относительно скоростей

л'_ А'1ра „ і__1__А-1р-а

ЛЧ-Р л-'а-а а+ l+ATU-'e-a) A^aattt

мы видим, что при N <ж> оно переходит в равенство

56 с помощью которого вводятся импульсы в вакономной механике.

Рассмотрим движения голономной системы при N>0 с начальными данными

q (0)=<7о. Pa (0) = ро+аа, об/?,

где Po=Aq0 и a(q0)-q0=O. Когда о=0, то получим начальные условия, о которых идет речь в теореме 11. При фиксированном значении о начальные условия q (0) н ^a(O)=A'1 (q0) ра (0) удовлетворяют уравнению a-q = 0 с точностью до 1/ЛЛ

Гамильтониан голономной системы с лагранжианом Ln равен HN = Ho-\-0(\jN), где H0 — вакономная функция Гамильтона (см. § 4). Следовательно, при фиксированном а и N-*- оо существует предел

lim qa(t, N) = qa(t), (48)

/V-оо

который представляет едно из движений вакономной системы, с лагранжианом L0 и со связью a-q=0.

При N-*-oo начальное состояние q(0) и qa(0) ие зависит от а, однако предел (48) в случае неинтегрируемых связей существенно зависит от параметра а (см. § 4). Таким образом, когда N велико, то ошибки в начальных условиях порядка 1JN могут порождать конечные отклонения на временах 1. В этом состоит одно из качественных объяснений недетерминированного поведения вакономных систем.

Пример 11. Покажем, как можно физически реализовать движение вакономного конька по наклонной плоскости, изученное нами в § 4. Для этого рассмотрим движение в безграничной идеальной жидкости удлиненной невесомой эллиптической пластинки с жестко закрепленными точками положительной массы (см. рис. 7). Предположим, что на точки действует лишь сила тяжести. Симметрия задачи допускает движения, при которых ось X горизонтальна, а оси у и г постоянно лежат в некоторой вертикальной плоскости.

8-1

Рис. 7

57 Пусть и — проекция угловой скорости тела на ось х, а и, V — проекции скорости центра масс на оси у, г. Рассмотрим вначале движение эллипсоида

а1 ' Ьг ' с1

в однородной жидкости с плотностью р. Кинетическая энергия жидкости равна

J- (Лй)2 + 5и2 + с®»), (49)

где

л = J _(»---О* (".-р.)_1 b

B = -T^inPabc' T "P^c-

оо со

Po=sa^g Л) О' Vo = AftC^

U о

D = /(а2 + Х)(г>2 +л) (с2 + X):

Эти формулы можно найти, например, в книге Ламба (Н. Lamb) [162].

Устремим с к нулю и положим Ь = е, а = е~а. Считая е малым, из этих соотношений можно получить следующие асимптотические формулы:

А ~ яр»4-«, B = О, С~ яре2-а.

Таким образом, если 2<а<4, то Л-»-0, a С-*-оо при в->-0.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed