Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Удобно перейти в подвижную систему отсчета, вращающуюся с единичной угловой скоростью вокруг центра масс S и J-, в ней тела Sh/ покоятся. Ввведем в подвижной системе отсчета декартовы координаты х, у так, что точки ShJ постоянно расположены на оси х и их центр масс совпадает с началом координат. Уравнения движения астероида приводятся к следующему виду (см. (16)):
jc-2H-g. U—
(17)
V--2 рГ Р2 '
где ц—масса Юпитера» pi и P2- расстояния астероида ^ до ^ и У. Поскольку S и J имеют координаты (—ц, 0) и (1—ц, 0), то
Рі»=(х+ц)2+{Л (^=(*-!+и)2+<Л
Рис. 17. Ограниченная задача трех тел
Уравнения (17) имеют интеграл
?±?-V(x, у)=A,
называемый интегралом Якоби. Он выражает постоянство энергии в относительном движении астероида.
При фиксированном значении Л движение астероида происходит в области
{(х, y)*R*: V(x,y)+h^0},
которая называется областью Хилла.
5.2. Относительные равновесия и области Хилла. Вид областей Хилла зависит от расположения критических точек функции V(x, у). Каждой критической точке (л0, уо) соответствует «равновесное» решение x(t)s=x0, #(0=1/о> которое естественно
11-2
83 назвать относительным равновесием. Покажем, что при всех значениях |х€ (0, 1) таких точек ровно пять. Вычислим
и решим систему алгебраических уравнений vx' = V/=0. Пусть сначала уф0. Тогда f=0 и, следовательно, pi =Рг = Р- Из уравнения / = 0 найдем, что р= 1. Таким образом, в этом случае точки 5, / и st- находятся в вершинах равностороннего треугольника. Таких относительных равновесий ровно два; они называются треугольными точками либрации. Их следует рассматривать как частный случай решений Лагранжа общей «неограниченной» задачи трех тел (см. § 3). Сам Лагранж относился к этим решениям как к «чистому курьёзу» и считал их бесполезными для астрономии. Однако в 1907 году был обнаружен астероид, названный Ахиллесом, который движется практически по орбите Юпитера, постоянно «опережая» его на 60°. Вблизи Ахиллеса есть еще 9 астероидов («Греки»), а по другую сторону обнаружено пять астероидов («Троянцы»), которые тоже образуют с Солнцем и Юпитером правильный треугольник.
Теперь исследуем относительные равновесия, расположенные на оси X. Они являются критическими точками функции
Так как g(x)>0 и g(x)-»-+oo при х-»-±оо, х-*—ц и х-*--»-1—ц, то в интервалах (—оо, —ц), (—ц, 1—ц), (1—ц, -+ оо), на которые делят ось х точки Sh/, существуют три локальных минимума функции g. Ввиду неравенства g"(x)>0 эти точки являются единственными критическими точками функции g. Коллинеарные точки либрации были найдены Эйлером.
Можно показать, что коллинеарные точки либрации (обозначим их Li—L3) имеют гиперболический тип, а -треугольные точки либрации (L4 и L5) являются точками невырожденного минимума функции v. На рис. 18 изображена перестройка областей Хилла при изменении постоянной Якоби h от —оо до +оо в предположении, что масса Юпитера меньше массы Солнца. Если h больше отрицательного числа
то область Хилла совпадает со всей плоскостью /?2= (х, у). При M-= '/г области Хилла симметричны не только относительно оси X, но и относительно оси у.
16-2 db 2
а^ШШг б^ШШ^ б^Ш^Р е^^^
Рис. 18
Коллинеарные точки либрации всегда неустойчивы: среди корней векового уравнения уравнений в вариациях есть числа с положительными вещественными частями. Для случая треугольных точек либрации эти корни чисто мнимы и различны только тогда, когда
27ц(1-ц)<1. (18)
При выполнении этого условия треугольные точки относительного равновесия устойчивы в первом приближении. Задача об их устойчивости в смысле определения Ляпунова оказалась гораздо сложнее; мы отложим ее обсуждение до гл. 7. Отметим в заключение, что для реальной системы Солнце—Юпитер условие (18) заведомо выполнено.
5.3. Задача Хилла. Поместим начало вращающейся системы координат в точку, где находится тело с массой ц. Тогда координаты X, у третьего тела малой массы надо заменить на х- (1—р), у. Обозначая эти переменные снова через х, у, мы видим, что уравнения движения (17) сохранят свой вид, только потенциал надо заменить следующей функцией:
V = (l-H)X + i-(*2 + l/2) +
+ (1-и) (1 + 2* + *» + i/2)-"2 + U (*2 + У2)-1'2- (19)
Сделаем еще одно упрощение задачи; оно введено Хиллом (G. W. Hill) и заимствовано из астрономии. Пусть тело с массой 1—ц снова обозначает Солнце, ц. — Землю, а третье тело ничтожно малой массы — Луна — движется вблизи точки (О, 0), в которой постоянно находится Земля. Пренебрежем в уравнениях (17) всеми членами, имеющими по крайней мере второй порядок относительно X, у. Это эквивалентно тому, что в (19) мы должны отбросить члены по крайней мере третьего порядка по X, у. С требуемой точностью v заменяется на функцию
v - -jj- <*Ч- tft + 4 (1 - Ji) *2+ц (*2+
Поскольку масса Земли |х много меньше массы Солнца 1— ц, то в этой формуле первым слагаемым можно пренебречь.
Удобно слегка изменить единицы расстояния и массы, сделав следующие замены:
х-*-ах, у-*-лу, 1—H~».?(l—n),
16-2 где
а=(ц/1 —fi)1'3, P=(I-Ji)-1.
