Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
L = T^V = J-Lmi (и? + ^i2) + UZmi (щі, -IiiVi) + Vw
16-2 где Vbl = V la? 12. Уравнения движения:
MlUl = ZmiMVi+0^, MlVi= (16)
Справедливость предложения 2 просто выводится нз этих уравнений с учетом следующего замечания: функции Uk и Va имеют одни и те же критические точки, поскольку в этих точках K = = /(о. D>
§ 4. Финальные движения в задаче трех тел
4.1. Классификация финальных движений по Шази.
Теорема 5. (Шази, 1922). Каждое решение задачи трех тел rh(t) (ft = 1, 2, 3) принадлежит одному из следующих семи кассов:
1J. H (гиперболические движения): |г*|->- со, |гА|-»-с*>0 при / -»• + оо ;
2°. HPk (гиперболо-параболические): | г^ [оо, гк-+ О,
іГІ\-*СІ>0 (іфк)\
3?. HEk (гиперболо-эллиптические): |г,|->-оо, |г4|-»-с»>0
(іфк), sup I rft I < оо; i>I,
4*. PEk (параболо-эллиптические): |r,|->oo, |rJ-»-0 (іфк), sup I rA|< oo ;
5°. P (параболические): IriI-^oo, | | —»-0;
6°. В (ограниченные): sup|rA|<oo;
t>t,
7°. OS (осциллирующие):
lim sup I гЛ ]= oo, lim sup 1 rk I < oo.
/-> + ПО * /-» + OO *
Примеры движений первых шести типов были известны Шази. Существовэние осциллирующих движений доказал К. А. Ситников в 1959 году.
Перечисленным семи типам финальных движений естественно поставить в соответствие подмножества двенадцатимерного фазового пространства задачи трех тел Mi2 с фиксированным положением центра масс: эти подмножества целиком составлены из фазовых траекторий, которым отвечают движения заданного типа. Представление о качественном характере разбиения Af12 на классы финальных движений дает рис. 16. Множества H и HPjt лежат целиком в области, где постоянная полной энергии А положительна, P лежит на гиперповерхности A = = 0, а множества В, PEk, OS- в области Л<0: движения из класса HEh возможны при любом знаке А. Известно, что H и HEk открыты в M12, HPk состоит из аналитических многообра-
16-2 зий коразмерности 1, P состоит из трех связных многообразий коразмерности 2 (изображенных тремя точками на рис. 16) и одного многообразия коразмерности 3 (которое на рис. 16 не показано). Топология остальных классов недостаточно изучена.
Рис. 16
4.2. Симметрия прошлого и будущего. По теореме Шази можно ввести семь аналогичных финальных классов движений, когда t стремится не к + оо, а к—оо. Чтобы различать классы, относящиеся к случаям *-»-±оо, будем использовать индексы ( + ) и (—): H+, HE3- и т. д. В одной из работ Шази (1929 г.) было сформулировано неверное утверждение о совпадении финальных типов одного и того же решения задачи трех тел при /-»-±оо. Представление о «симметрии» прошлого и будущего продержалось довольно долго, несмотря на построенный Бекке-
Taffлица 1
/->+оо
А>0 h+ не\
8 I t 'S» н- Ж. Лагранж. 1772 (отдельные примеры); Ж. Шази, 1922 Мера > 0 ЧАСТИЧНЫЙ ЗАХВАТ Мера > 0 О. Ю. Шмидт (численный пример), 1947 K-A. Ситников (качественные методы), 1953
ПОЛНЫЙ РАСПАД Мера>0 /=/ Мера >0 Дж. Биркгоф, 1927
hej ІФІ ОБМЕН, мера > 0 Л. Беккер (численные примеры), 1920 В. М. Алексеев (качественные методы), 1956
15-1
81 Таблица 2
А<0 t-f+ao
НЕ* в+ OS*
8 I t ** НЕ' i-J Мера>0 ДжБиркгоф, 1927 ПОЛНЫЙ ЗАХВАТ f Mepa=O J Ж. ІШзЯ, 1929 и ІГ.А.Мерман, 1954; Дж. Литтлвуд. 1952; В. М. Алексеев, 1968, Ф0 TMepa=O { Ж. Шази, 1929 и ІГ. А. Мерман, 1954 В. М. Алексеев, 1968 Ф0
ОБМЕН 1Ф\ Мера > 0 JI.. Беккер, 1920 (численные примеры) В. М. Алексеев, 1956 (качественные методы)
в- ЧАСТИЧНЫЙ РАСПАД Ф0 Mepa=O Л. Эйлер, 1772 Ж. Лагранж, 1772 А. Пуанкаре, 1892 (отдельные примеры); Мера >0 В. И. Арнольд, 1963 Дж. Литтлвуд, 1952 Mepa=O; В. М. Алексеев, 1968 Ф0
OS- Mepa=O1 Ф0 Mepa=O1 Ф0 К. А. Ситников, 1959 Ф0 , Мера = ?
ром( L. Веккег) (1920 г.) численный контрпример, в котором утверждалась возможность «обмена»: HErftHE2* Ф0. Пример Беккера «объясняли» ошибками в численном интегрировании. В 1947 году О. Ю. Шмидт указал пример «захвата» в задаче трех тел: Н~[\НЕ*Ф0. Этот пример, также построенный численным расчетом, был приведен О. Ю. Шмидтом для подтверждения его известной космогонической гипотезы. Строгое доказательство возможности захвата нашел К. А. Ситников в 1953 г.
Современное состояние проблемы финальных движений задачи трех тел кратко отражено в таблицах 1 и 2, которые мы заимствовали из работы В. М. Алексеева [2j. Каждой клетке соответствует один из логически возможных вариантов комбинаций финальных типов в прошлом и будущем. Указана (где это известно) лебегова мера соответствующих множеств в Mx2.
§ 5. Ограниченная задача трех тел
5.1. Уравнения движения. Интеграл Якоби. Предположим, что Солнце 5 и Юпитер J вращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Единицы длины, времени и массы
16-2 выберем так, чтобы угловая скорость вращения, сумма масс S и J, а также гравитационная постоянная были равны единице. Нетрудно показать, что при этом расстояние между Sh/ тоже равно единице.
Рассмотрим движение астероида si в плоскости орбит S и /. Считая, что масса астероида много меньше масс Солнца и Юпитера, пренебрежем его влиянием на движение больших тел.
