Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть у: А-*-М— движение лагранжевой системы (М, L). Тогда ga 5 V : A-+M при всех значениях а также является движением.
В неавтономном случае лагранжиан L — гладкая функция на пространстве касательного расслоения расширенного пространства полоокений 'M=MxR. Группу диффеоморфизмов
g : 'M-*-'M будем называть группой симметрий системы ('Af, L), если 'ga(x, t) = (у, t) для всех (х, t)GMxR и отображения 'gta сохраняют L. Группе 'ga соответствует гладкое поле на 'M
'V (Xt t)=-±.(>g«(x, OUo-
Очевидно, что 'v(x, t) = (v(x, t), 0)GT(xlt)(MxR) и v(x, t) можно интерпретировать как поле на М, гладко зависящее от t.
Лемма 1. Система (М, L) допускает группу симметрий ga тогда и только тогда, когда
(p.v)=[L\-v. (2)
12-2
91 <] Это утверждение вытекает из следующего тождества:
¦ЯГ-'/-Il^v- » (3>
Лемма 1 справедлива и в неавтономном случае. Из равенства (2) вытекает
Теорема 1. Если система (М, L) допускает группу ga, то I = p-v — гіервьій интеграл уравнений движения".
Пусть (М, < , >, Vr) — натуральная механическая система. Лагранжиан L = (x, x>f2+V(x) инвариантен относительно действия группы g только в том случае, когда этим свойством обладают риманова метрика < , > и потенциал V. Для натуральных систем интеграл I, очевидно, равен <v, х>; он линейно зависит от скорости.
Пример 1. Если в некоторых координатах Arb..., хп на M лагранжиан L не зависит от Xi, то система (М, L) допускает (локально) группу симметрий : X]-*-Xi +a, Xk-+Xk (k>2). Этой группе соответствует векторное поле v = d/dxi. Согласно теореме 1, сохраняется величина I=p-o=pt = L'jt. В механике координата Х\ называется циклической, а интеграл I — циклическим интегралом. В частности, интеграл энергии является циклическим интегралом некоторой расширенной лагранжевой системы. Для того, чтобы показать это, введем новое врем;, т по формуле / = *(т) и зададим функцию 'L : T'M-*-R ('M=Mx XR) формулой
'L(x', t', X, t)=L (х' Ц', X, t)t', (.y=JL(.). Из вариационного принципа Гамильтона с учетом равенства
т, t,
S1Ld-C = ^Ldt
tl ft
вытекает, что если.*: t2\-*-M — движение системы (М, L), то (х, t): [ть Т2] — движение расширенной лагранжевой системы ('М, 'L). В автономном случае время t является циклической координатой и циклический интеграл
d'L г dL • 4
-377- =L — —Г- X = const Ot дх
совпадает с интегралом энергии. А
Теорема 2. Если v(xo)^0, то в малой окрестности точки
X0 существуют локальные координаты Jti..... хп такие, что
I = p-v = p і.
11 В таком виде эта теорема впервые сформулирована Э. Нётер (Е. No-ether) в 1918 г. Связь законов сохранения импульса и кинетического момента с группами трансляций и вращений была известна уже Лагранжу и Яко-би. Теорема 1 для натуральных систем опубликована Леви (М. Levy) в.
16-2 Это утверждение — следствие теоремы о выпрямлении векторного ПОЛЯ0.
Теорема 3. Предположим, что уравнение движения [/.] =0 имеет первый интеграл I=p-v. Тогда фазовый поток уравнения (1) является группой симметрий лагранжевой системы (М, L).
Из теорем 2 и 3 вытекает
Следствие. Интегралы натуральных систем, линейные по скоростям, локально являются циклическими.
Если имеется несколько полей симметрий »1, • • . . f», то уравнение движения допускает столько же первых интегралов
Ix=p-v\..... Ik=P'vk- Предполагая, что лагранжева система
(Af, L) является натуральной, перейдем с помощью преобразования Лежандра к уравнениям Гамильтона на 7"*Af. Функции Ii,..., Ik: T*M-*-R независимы и инволютивны (в стандартной симплектической структуре на Т*М) тогда и только тогда, когда поля »і,..., Vk независимы и коммутируют иа Af. Наличие линейных интегралов налагает ограничения не только на ри-манову метрику и потенциал силового поля, но и на топологию пространства положений.
Теорема 4. Пусть M — связное, компактное, ориентируемое четномерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система на Т*Af имеет (dimAf)/2 независимых линейных интегралов в инволюции, то характеристика Эйлера — Пуанкаре X(Af)^Oa.
Следствие. Пусть dimAf=2. Если натуральная система имеет линейный по скорости первый интеграл, то Af диффео-морфно сфере или тору.
В неориентируемом случае надо добавить проективную плоскость и бутылку Клейна.
Докажем следствие. Если x(Af)<0, то поле симметрий v имеет особые точки. Поскольку фазовый поток уравнения і= = v(x) является группой изометрий двумерного риманового многообразия (Af, < , », то особые точки х, изолированы и имеют эллиптический тип. По формуле Пуанкаре x(Af) = = 2 ind(x.) >0. Получим противоречие.
S
Рассмотрим более общую ситуацию, когда на Af действует (слева) произвольная группа Ли G. Пусть & — ее алгебра Ли, 3* — линейное пространство, дуальное алгебре S. Мы сейчас укажем естественное отображение I0 : ТМ-*-$*, которое каждой точке xGTM сопоставляет линейную функцию на 9.
Каждому вектору ХЪ$ соответствует однопараметрическая подгруппа gx, действие которой на M порождает касательное поле Vi. Отображение X <-* Vx является гомоморфизмом алгеб-
