Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Частные решения
В задаче п тел найдено мало точных решений. Практически все они были уже известны Эйлеру и Лагранжу.
3.1. Центральные конфигурации. Будем говорить, что п материальных точек (п%і, Гі) образуют в барицентрической системе отсчета центральную конфигурацию, если
з?гв*г,* <15>
где
і/ — V mIimI
-
потенциал гравитационного взаимодействия, /=Srrtfrli2 — полярный момент инерции, а скалярная функция о не зависит от номера і. Из формулы Эйлера для однородных функций вытекает, что а= —V/2/. Таким образом, формулу (15) можно записать еще в следующем виде
1 дг~ 2 V dr С Следовательно, центральным конфигурациям соответствуют критические точки функции iv2. Из ее однородности вытекает,
16-2 что центральными конфигурациями одновременно являются наборы (щ,гі) и (ті, аг,) для всех а#0. Мы не будем их различать.
Отыскание для любого числа точек п всех центральных конфигураций является сложной пока нерешенной алгебраической задачей. Оставляя в стороне тривиальный случай п=2, перечислим известные относящиеся сюда результаты.
При п = 3 единственной неколлинеарной центральной конфигурацией является равносторонний треугольник (Лагранж). При п = 4 единственной некомпланарной конфигурацией является правильный тетраэдр. Коллинеарные конфигурации описываются следующей теоремой Мультона (F. R. Multon) [42]: любой нумерации масс точек соответствует единственная центральная конфигурация, в которой точки в заданном порядке расположены на одной прямой. Таким образом, существует ровно п\/2 различных коллинеарных центральных конфигураций. При п = 3 их ровно три; они были обнаружены Эйлером.
Понятие центральной конфигурации полезно при анализе одновременных столкновений: оказывается, конфигурация гра-витирующих точек в момент одновременного столкновения является (в асимптотическом смысле) центральной. Из формулы (15) следует, что если в начальный момент точки образуют центральную конфигурацию и покоятся, то до момента одновременного соударения их конфигурация, очевидно, не изменится.
3.2. Томографические решения. Решение задачи «тел назовем гомографическим, если в барицентрической системе отсчета конфигурации, образованные телами, остаются подобными друг другу во все моменты времени. Если при этом конфигурация не вращается, то таксе решение будем называть гомотети-ческим. Примером могут служить решения, упомянутые в конце предыдущего пункта. Если же конфигурация остается конгруэнтной самой себе, то решение назовем относительным равновесием.
Несложно показать, что
a) томографическое решение является гожхгетическим тогда и только тогда, когда полярный кинетический момент равен нулю,
b) томографическое решение является относительным равновесием тогда и только тогда, когда оно плоское и его конфигурация вращается с постоянной угловой скоростью.
Более сложно доказываются следующие факты:
c) если томографическое решение не компланарное, то оно гомотетическое,
d) если томографическое решение компланарное, то оно плоское.
В частности, каждое томографическое решение является либо плоским, либо гомоггетическим. В задаче трех тел все томографические решения обладают тем свойством, что в бари-
16-2 центрической системе отсчета три тела лежат в неизменной плоскости, содержащей центр масс (Лагранж).
Предложение 4. Если решение является томографическим, то в любой момент времени тела образуют центральную конфигурацию.
Это утверждение дает способ построения томографических решений. В качестве примера приведем известную теорему Лагранжа (1772 г.).
Теорема 4. Задача трех тел при произвольных значениях их масс допускает точное решение, при котором
1) плоскость, содержащая эти точки, неподвижна в барицентрической системе отсчета,
2) равнодействующая ньютоновских сил притяжения, приложенных к каждой из трех материальных точек, проходит через их общий центр тяжести,
3) образованный тремя телами треугольник является равносторонним,
4) траектории трех тел представляют подобные друг другу конические сечения с фокусом в их общем центре масс.
В частном случае равных масс конические сечения конгруэнтны и смещены друг относительно друга на угол в 120°. Это замечание можно обобщить: задача п точек равной массы имеет решения, при которых каждое тело описывает коническое сечение с фокусом в их центре масс; их траектории конгруэнтны и повернуты друг относительно друга на угол 2л/«.
3.3. Приведенный потенциал и относительные равновесия.
Предложение 5. Конфигурации относительных равновесий с полярным кинетическим моментом К совпадают с критическими точками функции
Функция Uk называется приведенным потенциалом. Мы использовали ее в § 1 гл. 1 для описания областей возможности движения в плоской задаче п тел и в § 1 гл. 2 для отыскания траекторий двух тел.
<3 Предположим, что конфигурация относительного равновесия вращается вокруг центра масс с постоянной угловой скоростью to. Тогда, очевидно, K=fa. Перейдем в систему отсчета с координатами и, v, вращающуюся с угловой скоростью ш; в ней конфигурация относительного равновесия неподвижна. В новой системе отсчета функция Лагранжа равна
