Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
'> См. сб. «Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», 1984, 1, 18
г> Это утверждение получено С. В. Болотиным и Д. Л. Абраровым
16-2 ры S в алгебру Ли всех векторных полей на Af. Положим Jo(x) =L'i -vz. Эта функция линейна по X.
Определение. Отображение I0 '¦ ТМ-*9* называется кинетическим моментом лагранжевой системы (Af, L) относительно группы G (или просто моментом, если это не приведет к недоразумению).
Наряду с моментом J0 : ТМ-+&* определено отображение P0 : Т*М-*9*, заданное формулой P0(P)=P'V*- Момент J0 является композицией отображения P0 и преобразования Лежандра.
П р и м ер 2. Рассмотрим п свободных материальных точек (г», т») в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть SO (2)—группа вращений пространства вокруг оси, заданной единичным вектором е. Группа SO (2) действует в пространстве положений /?3{гі}Х ... Х/?3{/"„}; ей соответствует векторное поле (еХ (гі—'и),..., ex (r„—Vn)), где Vt — радиус-вектор k-ой точки с началом в некоторой точке оси вращения. Поскольку
/sO(2)=2/raft < >*, ex(rk—'rk) > — < е, Етк(гк — 'гк)Хгк )
совпадает с уже известным нам кинетическим моментом системы относительно оси.
Пусть теперь G=SO(Z)—группа поворотов вокруг некоторой точки о. Дуальное пространство J?*=(so(3))* можно канонически отождествить с алгеброй векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в которой коммутатор задается обычным векторным произведением. Тогда, очевидно, 1во(з), будет соответствовать кинетическому моменту системы относительно точки о. А
Определение. Группа G называется группой симметрии лагранжевой системы (Af, L), если L(g,x) =L(x) для всех хЪТМ и g&G.
Теорема 5. Пусть система (Af, L) допускает группу симметрий G. Тогда момент Ja является первым интегралом (т. е. I0 принимает постоянные значения на движениях лагранжевой системы (Af, L)).
Это утверждение есть следствие теоремы 1. Пример 3. Мы уже видели в гл. 1, что уравнения задачи п гравитирующих тел допускают группу преобразований Галилея. Однако функция Лагранжа
L==^lmk < rk, rk > + V(rlt..., г„),
то
2 T«
yniimj
V (¦Xi — X,У- + (Уі—-Уj)- jT (Zi-Zj)-
16-2 инвариантна относительно не всей группы Галилея. Она допускает трансляции оси времени, а также нзометрии трехмерного евклидова пространства. Сдвигам оси времени соответствует сохранение полной энергии, трансляциям евклидова пространства — сохранение импульса, а группе вращений — сохранение кинетического момента. Рассмотрим еще группу гомотетий
(X, у, z) (а*, ау, аг), а>0. (4)
Она порождается векторным полем
При а—1 будем иметь тождественное преобразование. Лагранжиан задачи п тел не допускает группу гомотетий. Мы, однако, воспользуемся тождеством (3) при а=1. Поскольку при замене (4) T-Kt3T, V-Hx-1V, то равенство (3) дает уже известное нам тождество Лагранжа:
1.2. Симметрии в неголономной механике. Предположим, что иа неголюномную систему (MtStL) действуют дополнительные непотенциалыше силы F(x, х) : TxM-^-Tx* M. Движения определяются принципом Даламбера—Лагранжа: ([L]—F) •?= =0 для всех возможных скоростей
Определения. Группа Ли G называется группой симмет-рий неголономной системы (М, S, L), если
1) G сохраняет Lt
2) векторные ПОЛЯ Vzt являются полями возможных скоростей.
Моментом силы F относительно группы G назовем отображение Фс : ТМ-+&*, определенное формулой Фа(х) =F-Vx.
Теорема 6. Если (М, St L) допускает группу симметрий G, то (Ig)' =ФС.
Следствие. Если Fss 0, то в предположениях теоремы 6 момент Iq сохраняется.
Теорема 6 выводится из принципа Даламбера—Лагранжа с помощью тождества (3).
Применим эти общие соображения к динамике систем материальных точек в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве. Будем предполагать, что на точку (г, т) действует сила F. Рассмотрим группу сдвигов вдоль подвижной прямой с направляющим вектором e(t) : r-w-fae, a?R.
Теорема 7. ([85]). Предположим, что выполнены следующие условия:
1) векторы lk = e являются возможными скоро-
стями,
16-2 2) <Р,е> = 0, где P = Lmr — суммарный импульс.
Тогда <P,e>- = <lF,e>.
Следствие. Предположим, что в каждый момент времени векторы ?fe=T)= (2mr/2m)- (l^Jfe^n) являются возможными скоростями. Если система движется по инерции (FsO), то скорость ее центра масс г) неизменна по величине.
Пример 4. Рассмотрим скольжение уравновешенного конька по горизонтальной плоскости и качение однородного диска, плоскость которого все время вертикальна. По следствию теоремы 7, величины скоростей их центров масс постоянны. Л
Рассмотрим еще группу поворотов евклидова пространства вокруг подвижной прямой I с направляющим единичным вектором e(t), проходящей через точку с радиус-вектором Го(0-Пусть К — кинетический момент системы материальных точек относительно неподвижного начала отсчета, a Ki(Mi)—кинетический момент (момент сил) относительно подвижной оси /.
Теорема 8 ([85]). Предположим, что выполнены следующие условия:
1) векторы скорости материальных точек при вращении системы как твердого тела вокруг оси I в каждый момент времени являются возможными скоростями,
