Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
16-2 A > A0= — y*/2c2, to эксцентриситет принимает только действительные значения.
Если A=A0, то е=0 и орбита круговая. Если А0<А<0, то 0<е<1. В этом случае орбитой будет эллипс. Если A=O, то е=1 и орбитой является парабола. При А>0 будем иметь е>1. В этом случае точка движется по одной из ветвей гиперболы.
На рисунке 10 изображено бифуркационное множество 2 на плоскости параметров с, А. Оно состоит из кривой A= = —у2/2с2 и двух координатных прямых с=0 и А=0. В точках S происходит перестройка областей возможности движения Bc, h (на рисунке они заштрихованы).
В случае гармонического осциллятора период обращения по орбите ие зависит от начального состояния. В задаче Кеплера это не так. Для эллиптических движений справедлив «третий закон Кеплера»: а3/Т2=у/4л2 = const, где а —большая полуось
P м
эллипса, Г —период обращения. Поскольку
то период зависит лишь от постоянной энергии.
1.2. Аномалии. Для полного решения задачи Кеплера нам осталось найти закон движения по уже известным орбитам. Направим оси х и у по главным осям конического сечения, представляющего орбиту. Ее уравнение можно представить в следующем параметрическом виде:
x=a(cosu — e), у=aV\ — е2 sin и. (0<е<1), если А<0,
x=a(chu—e), у=аУе2— 1 sha (е> 1), если А>0, (3)
X = -(P-U2)1 y=Vp и. если A=O.
Вспомогательная переменная и в астрономии называется эксцентрической аномалией, а угол <р между направлением на перицентр орбиты (ось X) и радиусом-вектором точки — истинной аномалией.
15-1 65 Рис. 11
Имеют место следующие формулы:
и
Vp
где А<0, А>0, A=O соответственно. Подставляя формулы (3) в интеграл площадей ху — ух = с и интегрируя, получим соотношения между временем и эксцентрической аномалией:
Здесь to — время прохождения точки через перицентр. Эти уравнения (во всяком случае первое) называют уравнениями Кеплера. Линейная функция Z,=n(t—t3) называется обычно средней аномалией.
Таким образом, в эллиптическом случае задачи Кеплера мы должны решить трансцендентное уравнение Кеплера
Ясно, что при 0<е<1 оно имеет аналитическое решение и(е, ?), причем разность и(е, ?)—? периодична по средней аномалии ? с периодом 2л. Для того, чтобы представить функцию и(е, I) в удобном для вычислений виде, можно избрать два пути:
(1) разложить разность и—? при фиксированных значениях е в ряд Фурье по ? с зависящими от е коэффициентами,
(2) можно попытаться представить и(е, ?) в виде ряда по степеням эксцентриситета е с коэффициентами, зависящими
и — eslnu=n(t —10\ я=- если А<0, и—eshw=n(t — t0y, я= — ^jL-; если А>0, и+ ?j=n(t — t0), если А=0.
3р
и—е sin и = %.
16-2 В первом случае
Jm (те)
OO
«-С+22 Storni (4)
m-l
где
2п оо
і р (_IMr^Jm+'*
Леї (m -4-
о
(/ге=О, 1...)-
функции Бесселя т-го порядка. «Эти функции использовались широко как раз в рассматриваемой задаче самим Бесселем (F. W. Bessei), а также на полстолетие раньше Лагранжем»". Доказательство (4) основано на простом вычислении
2« оо 2я
du __ 1___1С dt, V cos ml (* cosm^S _
dt 1-е cos и 2я J 1 — e cos и л Jl — ecos и
о 1 о
2« OO 2я
= 2її 5 du+2 22T^S cos Im(и-еslnu)l du =
о о
OO
= 1+22 Im(Tne)Cos ml.
m-l
Остается проинтегрировать эту формулу по При втором подходе будем иметь разложение
OO
И(е.С)-2 (5)
т—0
где
^m(S) =
de"' I е—о*
Используя известную формулу локального обращения голоморфных функций Лагранжа2) получим формулу для коэффициентов этого ряда:
C0(C) = S; Cm(I) = -^r SinmS, т> 1.
Функции ст(?)—тригонометрические полиномы средней аномалии Переставляй члены ряда (5), можно получить разложение (4). Именно таким путем Лаграчж пришел к формуле (4).
По теореме о неявной функции (с учетом периодичности и(е, 5)—5) ряд (5) сходится на всей числовой прямой при
См. Уинтнер (A. Wintner) [42].
Полученную Лагранжем как раз в связи с решением уравнения Кеплера.
9-2 G7 малых е. Детальный анализ разложения (4) показывает, что ряд Лагранжа сходится при 6627434 ... и.
1.3. Столкновения и регуляризация. Выше предполагалось, что постоянная площадей сФЪ. Положим теперь с=0. Движение точки будет прямолинейным и можно считать, что оно происходит вдоль ОСИ X. Если в некоторый момент времени скорость X направлена к притягивающему центру, то х(/)-*-0, jc(/)-+-<» при приближении t к некоторому to. Таким образом, в момент t=t0 произойдет столкновение двух тел. Очевидно, что при с=0 функция х((), t?R обязательно имеет особенность указанного вида.
Покажем, что эксцентрическая аномалия и является регу-ляризующей переменной, устраняющей особенность аналитической функции x(t). Если с = 0, то е=\ в эллиптическом и гиперболическом случаях и р=0 в параболическом случае. Следовательно, формулы (3) запишутся в следующем виде:
jt=a(cosu— 1), x = a(chu— 1), X=—у". (6)
В соответствии с этими формулами при А<0 столкновение имеет место при u = 2nk, k€Z, а при Л^О — только при и = 0. В эллиптическом случае тоже достаточно рассмотреть случай и = 0.
Положим для простоты /0=0. Из уравнений Кеплера (при е=1) легко получить, что в окрестности точки ы = 0 справедливо разложение
