Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
$ (г, dr), (41)
V
где 7 — замкнутый контур в R5[г, г}— образ контура Г при отображении (39). Интеграл вида (41) в гидродинамике называется циркуляцией скорости вдоль контура у.
§ 5. Гамильтонов формализм со связями
5.1. Задача Дирака. Пусть (.И, <>2) —симплектическое многообразие, H : M-*-R — гладкая функция и А' — подмногообразие в М. Четверку (М, Q21 И, N) назовем гамильтсноаой системой со связями. Ограничение симплектической структуры Q2 на А' обозначим о2, а ограничение функции // обозначим F. Форма о2 очевидно, замкнута, но может оказаться вырожденной (если, например, размерность .V нечетна).
Определение. Гладкий путь х : Д->-Л1, дг(/) С-Д;, называется движением гамильтоново/і системы (M, ?>2, //, Af). если u>2(-, x(l)) =(1F(x(t)) для всех значений /(-Л.
Наша цель — описать множество всех движении гамильто-повой системы со связями!'
Если N совпадает с Al, то система со связями совпадает с обычной гамильтоновой системой (см. § 3) и ее движения суть решения уравнении Гамильтона на М. Есть еще о. ин случай, когда задача Дирака сводится к решению уравнений Гамильтона: если форма W2 невырождема, то (.V, о2) — симплектическое подмногообразие и движения системы (Af, Q2, II, X) являются решениями уравнения Гамильтона на .V с функцией Гамильто-
11 Эта задача впервые рассмотрена Дираком в !ООО і. дли целей квантовой механики (см. [25|).
50 на F. При этом начальному состоянию xq?N отвечает единственное движение системы со связями. В вырожденном случае есть еще две возможности: задача Дирака может иметь несколько различных движений с начальным состоянием дсо либо не иметь их вовсе. Как мы увидим, эти две возможности действительно реализуются.
Пусть форма q2 точна на М. Тогда q2 = ^q1 и (o2 = da>', где ш1—ограничение 1-формы Q1 на N. В общем случае (когда ?22 не точна) эти соотношения выполнены локально на М.
Лемма 5. Гладкий путь х : [<і, іг]-»-^ является движением системы (М, Q2, И, N) тогда и только-тогда, когда дс(-) — критическая точка функционала действие
t,
^ (со1 (X) -F) dt
и
в пространстве гладких путей на N с фиксированными концами.
Это утверждение сводит задачу Дирака к исследованию вариационной задачи Лагранжа (см. п. 4.1) с лагранжианом l(jc)=q1(x)—h1 а интегрируемые связи задаются многообразием N.
Укажем некоторые явные формулы, которые будут использованы в дальнейшем. Пусть jc= (р, q)—локальные симплек-тические координаты на M и подмногообразие N задано системой уравнений
Ф,(р, q)= ... =Фт(р, ?)=0 (42)
с независимыми во всех точках N функциями Ф,. Уравнения экстремалей задачи Лагранжа с лагранжианом L=p-q— —Н(р, q) и связями (42) можно представить в виде уравнений
со множителями [?]=2Я,Ф,:Х, или в явнов виде —
q=H'p + lksib'sp, >=-tf'<-ZMV (43)
К этим уравнениям надо добавить уравнения (42). Поскольку функция Лагранжа L вырождена по скоростям (от р она вообще не зависит), то к уравнениям (43) не применим метод § 4.
Из уравнений (42) и (43) получим «условия совместности»
Ф, = {Ф<, Н) + Sb1 {Ф„ ФЛ- 0, (44>
когда все Ф, = 0. Если матрица скобок Пуассона Il {Ф„ Oi) 11 невырождена, то уравнения (44) однозначно задают Я, как функции от р, q. В этом случае т йбязательно четно и Nr-симплектическое подмногообразие в М. Симплектическая структура на N задается скобкой Пуассона:
т
{Flt F2y={Fu F2) + 2 №. Fx) C4 (Фу, Zr2). і, і-1
3-1
51 тде ikijll — матрица, обратная к il {Фі, Фі}Ц. Можно показать, что ограничение скобки (Fi, F2)' на N зависит лишь от ограничений функций Fi и F2 на N. Если некоторые из уравнений (44) не содержат множители Х„ то мы получим новые уравнения связей Mfj= (Oj1 //} = 0, которые обычно называются вторичными связями. В самом общем случае вторичные связи являются алгебраическими условиями, разрешимости уравнений (44) относительно X,. Функции MrJ следует добавить к функциям Ф.; если эти функции составляют независимый набор, то можно повторить исследование условий совместности еще раз. В итоге мы либо придем к противоречию (в этом случае задача Дирака не имеет решений), либо система (44) окажется совместной при соответствующем выборе коэффициентов X. В последнем случае множители /., возможно, определены неоднозначно. Тогда начальные условия не определяют единственного решения системы уравнений (42)—(43).
Пример 10. Пусть ш = 1 и скобка {H, Ф} отлична от нуля во всех точках N. Тогда задача Дирака не имеет ни одного решения, поскольку условие совместности (44) не выполнено. Пусть снова ш = 1 и {#, Ф}г=0 на М. В этом случае коэффициент X — произвольная гладкая функция на N и поэтому через каждую точку из N в один и тот же момент времени проходит целое семейство различных движений. Более того, имеется бесконечно много разных движений, совпадающих на целом интервале оси времени. В вакономной механике это не так (см. п. 4.3). А
Замечание. Для решения задачи Дирака, очевидно, достаточно знать лишь ограничение функции Гамильтона на подмногообразие N.
5.2. Двойственность. Зная гамильтониан H и уравнения связей (42), можно перейти к функции Лагранжа L по обычному правилу: L = q-р — Н. Пусть 36 = H EXf Ф,. Если
