Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 19

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 117 >> Следующая


detIl11^.0 и йеі\\(ФІр-(Ж'„Г*Ф)р)\\+0, то, по крайней мере, локально, из уравнений

q=Hp' + ЕХ/»;,, ф1=...=фт = 0

можно найти р как функцию от q, q. В итоге лагранжиан является функцией состояния (q, q), вырожденной по скоростям. Отметим, что переход от H к L в гамильтоновой механике со связями двойственен переходу от L к H в вакономной механике (см. § 4).

Обратно, имея вырожденный по скоростям лагранжиан L (q, q), можно ввести канонические импульсы p—L'q и получить из этих

уравнений несколько независимых соотношений вида (42). В квантовой механике они обычно называются первичными

52 связями. Затем вводится гамильтониан H = p-q—L, который, ввиду вырожденности лагранжиана, определен только на многообразии N={(1),= ... = Фт = 0}. Как мы уже видели, это ограничение не существенно. При построении гамильтонова формализма со связями Дирак исходил как раз из вырожденного лагранжиана.

§ 6. Реализация связей

6.1. Различные способы реализации связей. Начнем с простого примера. Рассмотрим движение по прямой двух тел с массами Мит, соединенных упругими пружинами с коэффициентами упругости k и с (как показано на рис. 6). Пусть х, у— расстояния от «стены» до точек Мит. Движение описывается простой системой линейных уравнений

Mx = — kx — с (х — у), ту——с(у—х).

Зафиксируем параметры М, т, с, a k устремим к бесконечности. Пусть x(t, k), у (t, k) — решение этих уравнений с начальным условием л: (0, k) — X (О, ?) = 0, а i/(0, &) и у(0, k) от k не зависят. Очевидно, что

Iim JC (Л ?)=0,

а предельное движение

y(t) = \imy(t, к)

k-*oo

является гармоническим колебанием с частотой ш = Уг/пг. В этом случае «бесконечно большая» жесткость пружины эквивалентна наложению на систему голономной связи х = 0.

Эту же связь можно реализовать по-другому. Для этого достаточно устремить к бесконечности массу M и снова считать, что х(0) =i(0) =0.

Есть еще один физически ясный способ реализации этой связи, основанный на введении сил вязкого трения. Предположим, что на тело с массой M действует еще сила сопротивления F =—ax, a = const>0. Это слагаемое надо добавить в первое уравнение движения. Если а-+-оо, то снова х(/)-*-0. При этом уже не обязательно, чтобы х(0) и х(0) обращались в нуль. Равенство

53 lim je (^)=O

а- -о

будет иметь место при />0.

Можно рассмотреть более сложный случай, когда одновременно M и а неограниченно возрастают, но их отношение а/М стремится к конечному значению ц>0. После этого предельного перехода уравнения движения упрощаются:

Jc=-HJt, ту=—с(у — х). Они CfiOBa допускают решения (х, у) = (о, уи) такие, что ід.-|-

-ffc)2t/o = 0, <i)2 = f/OT.

Рассмотрим, наконец, случай, когда масса второго тела т мала. Тогда в пределе оно не оказывает действия на движение тела M (которое будет совершать гармонические колебания с частотой yk/M). Если с>0, то, очевидно, масса т будет повторять движение массы M : y(t)^x(t).

Если же значение с тоже устремить к нулю и при этом c/m->-\i>0, то в пределе будем иметь «ограниченную» задачу двух тел: масса M совершает гармонические колебания по закону x0(t), а масса т совершает вынужденные колебания в соответствии с уравнением

Эти простые наблюдения допускают обобщения. 6.2. Голономные связи. Пусть Г(</, q) — кинетическая энергия, a U(q)—потенциальная энергия голономной натуральной механической системы с пространством положений М. Пусть / : Ai-*-R — гладкая функция такая, что df --ФО на множестве A={f=0}cM.

Рассмотрим новую систему с потенциальной энергией U+ + Nf3, зависящей от параметра N (который затем будет стремиться к бесконечности). Через q(t, N') обозначим ее движение с начальными условиями на Л:

<дО)=?0ЄЛ, q (O) = qd*Tq,A,

не зависящими от N.

Теорема 9. При N-* оо на каждом конечном промежутке <)<<<<„ существует предел

lim q (t, N)=q(t)?\.

TV-roe

Предельная функция удовлетворяет уравнениям

Лагранжа с лагранжианом

L=(T-U) |ГА.

Подробное доказательство теоремы можно найти, например, в работах [187], [195]. Основным моментом является следующее соображение: вследствие сохранения энергии, точка q(t, N) не

54 может удалиться от Л на расстояние большее, чем сIMN, что стремится к нулю при N-+ оо.

С помощью теоремы 9 мы можем, исходя из системы свободных точек, получить произвольные лагранжевы голономные механические системы.

6.3. Анизотропное трение. Начнем с определения сил вязкого трения. Будем говорить, что на лагранжеву систему с лагранжианом L = (A (q)q-q)/2 — L/(q) действуют силы вязкого трения, если ее движение описывается уравнением

(45)

где F — неотрицательная квадратичная форма по скоростям, называемая диссипативной функцией или функцией Рэлея (J. W. Rayleigh). Производная от полной энергии системы в силу уравнения (45) равна — Г. Если форма F положительно определена (в этом случае говорят о силах трения с полной диссипацией), то энергия монотонно убывает на всех движениях, отличных от равновесия. Мы будем рассматривать силы трения с функцией Рэлея FK = —N(a(q)-q)2/2, где а — некоторое ковек-торное поле, N = const>0. Легко понять, что форма Fk вырождена и что полная энергия системы не убывает лишь на тех движениях ?(-), которые удовлетворяют уравнению
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed