Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 9. Пусть N — гладкое многообразие и G — группа Ли, действующая на N. Продолжим действие G на JV до симплектического действия G на T*N как указано в примере 8. Построенное действие пуассоновское. Это вытекает из линейности функции P-Vx и следующей формулы: {p-vx, p-vY} =
=p-\'vx,'vy\ = p-v\x.y\. а
Пуассоновское действие группы G на Af определяет естественное отображение Pa ¦ М-+-&*, которое сопоставляет точке х линейную функцию F.(x) на алгебре Это отображение назовем моментом пуассоновского действия группы G.
Предложение 1. Пуассоновское действие связной группы Ли G при отображении момента P переходит в коприсоеди-ненное действие группы G на S*, то есть коммутативна диаг-
16-2 рамма
Af Л M
р Iy1-Ip-
Пусть (N, L) — лагранжева система и группа Ли G действует на N. Лагранжиан L определяет преобразование Лежандра TN-*-T*N. Композиция момента Pa:T*N-*$* продолженного пуассоиовсиого действия G на симплектическом многообразии T*N и преобразования Лежаидра совпадает с определенным выше моментом Ig '¦ TN-*9* лагранжевой системы (N, L) относительно группы G.
Если функция H: Af-»-/? инвариантна относительно пуассо-новского действия группы G, то, по теореме 10, момент PG является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н.
В заключение обсудим симметрии в обобщенной гамильтоновой механике Дирака. Пусть (Af, ш2, Н, N) — гамильтонова система со связями, H : Af-»-/? — функция Гамильтона, N — подмногообразие в Af (см. п. 5.1 гл. 1).
Теорема 11. Пусть задано пуассоновское действие группы Ли G на симплектическом многообразии (M, о2) такое, что G сохраняет функцию H и подмногообразие N. Тогда момент Pa принимает постоянное значение на движениях гамильтоновой системы со связями.
§ 2. Приведение систем с симметриями
2.1. Понижение порядка (лагранжев аспект). Если лагранжева система (Af, L) допускает группу симметрий ga, то оказывается возможным уменьшение числа ее степеней свободы. Группе g соответствует первый интеграл I1, который локально всегда является циклическим. Сначала мы рассмотрим классический метод Рауса (Е. J. Routh) исключения циклических координат, а затем обсудим понижение порядка в целом.
Предположим, что лагранжиан L (q, X, q) не содержит координаты X. С помощью равенства =с представим циклическую
скорость і как функцию q, que. Следуя Раусу, введем функцию
Red q)=L(q, І, q)-ci\-q q C.
Теорема 12. Функция (q(t), А,(0)—движение лагранжевой системы (Af, L) с постоянной циклического интеграла I,= = с тогда и только тогда, когда q(t) удовлетворяет уравнению Лагранжа [/?с] =0.
Если имеется несколько циклических координат А,„ ..., А,», то в качестве функции Рауса надо взять функцию Rc, сь =¦ = L-LcsK-
Малая окрестность U неособой точки поля симметрий v
13-2 99 «регулярно» расслоена орбитами группы g (интегральными кривыми поля и): факторпространство N=UIg является гладким многообразием с декартовыми координатами q. Пару (N, Rc) естественно назвать (локально) приведенной лагранжевой системой. Примером понижения порядка по Раусу служит, например, исключение полярного угла в задаче Кеплера (см. гл. 2, п. 1.1).
Циклические координаты определены неоднозначно: среди новых переменных Q = q, Л=A, + f(q) координата Л тоже циклическая. Пусть Л, Q)=L(q, І, q). Тогда, очевидно, La.= =L!, =с. Функция Рауса, отвечающая новой циклической координате Л, равна RC(Q, Q)==Rc(q, q) + cf',-q. Слагаемое c(f'q-q), ввиду тождества [/)=0, не влияет, конечно, на вид уравнения [/?с] =0. Однако при сф0 функция Рауса тем самым определена неоднозначно. Эти наблюдения оказываются полезными при анализе понижения порядка в целом, к которому мы сейчас переходим. Для определенности будет рассмотрен случай натуральных лагранжевых систем.
Пусть (M, N, pr, S, G)—расслоение с пространством расслоения М, базой JV, проекцией рг: M-*-N (ранг дифференциала рг, во всех точках M равен dirnN), слоем S и структурной группой G. Группа G свободно и транзитивно действует слева на слое 5. Это действие можно продолжить до левого действия G на М\ при этом все орбиты G будут диффеоморфны 5. В случае главного расслоения многообразие 5 диффеоморфно пространству группы G. Базу N можно рассматривать как фактор-пространство многообразия M по отношению эквивалентности, заданному действием группы G. Векторы vx, касательные к орбитам группы G, вертикальны: рг #(!»*) =0.
Предположим, что G — группа симметрий натуральной механической системы (M, < , >, V). Введем в расслоении (M, N, рг, S, G) «каноническую» связность, объявив горизонтальными касательные векторы на М, ортогональные в метрике < , > всем векторам vx, X&S. Эта связность согласована со структурной группой G: распределение горизонтальных векторов переходит в себя при действии G на М. Гладкий путь у : [/i, Z2I-^Af называется горизонтальным, если касательные векторы y(t) горизонтальны при всех Нетрудно пррверить, что для
любого гладкого пути у: [Z1, /2]-»-# и любой точки x\GM, лежащей над y(/i) (т. е. pr(jfi) =v(Zi)), найдется лишь один горизонтальный путь у : [/і, /г]-»- М, накрывающий у.
