Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 36

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 117 >> Следующая


Снабдим многообразие N = MfG «факторметрикой» < >, опустив на N исходную метрику на М, ограничив ее предварительно на распределение горизонтальных векторов. Поскольку потенциал V: M-+R постоянен на орбитах группы G, то существует единственная гладкая функция V: N-*-R такая, что

16-2 коммутативна следующая диаграмма:

Pr

M-+N

v\/v

R •

Теорема 13. Движения натуральной системы (М, <, >,V' с нулевым значением момента Ia однозначно проектируются

в движения приведенной системы (N, < , >, V).

<] Пусть N — движение приведенной системы и

Ya-его вариация с закрепленными концами. Пусть Ya'--VAl — горизонтальный подъем пути Ya. причем Ya(<i) = Yo(*l) для всех а. Поле вариаций и семейства путей Ya таково, что K(^1)=O, а и (^2)-вертикальный вектор. Если L (L)-лагранжиан исходной (приведенной) системы, то, согласно формуле первой вариации,

N <»

6 JZ<ft=6 < Yo, и >Г,; = о. > <i <i 1 Пример 10. Рассмотрим движение материальной точки т в центральном силовом поле. В этой задаче имеем расслоение (f?\{0), pr, S2, SO(S)); проекция рг: R3\{0}->•?+ определяется формулой: (х, у, z)~YX2 + у2 + z2. Лагранжиан ? = т|г|2/2+У(]Г|) допускает группу поворотов SO (3) вокруг точки X = «/ = 2 = 0. Если кинетический момент Iso{з) = 0, то на /?+={s>0) появляется одномерная приведенная система с лагранжианом ? = ms2/2+V(s). Д

Рассмотрим теперь понижение порядка, когда момент 10ф фЪ. Мы будем предполагать группу G коммутативной (только в этом случае применим метод Рауса). Более того, будем считать, что расслоение (Af, N, pr, G) — главное; в частности, группа G действует на M свободно. Кроме факторметрики < > на базе нам потребуется еще форма кривизны канонической связности. Напомним ее построение. Сначала вводится 1-форма связности ш на M со значениями в алгебре Ли 8, определенная следующим образом: если и?ТМ, то <о(ц) равно такому ХЄ&, что Vx совпадает с вертикальной составляющей вектора и. В случае главного расслоения ядро гомоморфизма алгебры Ли S в алгебру векторных полей на M нулевое; поэтому форма связности определена корректно. Если, например, dim G=I, то можно положить м(ц) = <ц, v}/<v, v>, где v — поле симметрий. Формой кривизны й называется ^-значная 2-форма такая, что й(ыь и2) =d<a(ui±, и2х), где цх — горизонтальная составляющая касательного вектора и. Поскольку G — коммутативная группа симметрий, то форму Q можно опустить на N. Пусть /С = сб#*. Так как Q принимает значения в Ф, то коррект-

16-2 но определено значение момента на форме кривизны: Q1=C-Q. Форма Qc является Л-значной формой на базе N. Согласно структурному уравнению Картана Q=do+ [to, to], формы Q и Qc замкнуты.

Лемма 2. Пусть с6#*. Тогда для любой точки хЄМ найдется единственный вертикальный касательный вектор WfiTxM такой, что I0(We) =с.

< Действительно, Wc — единственный* элемент из множества {vcbTxM : Ia(W) =с)< имеющий минимум длины в < , >-метрике. Это утверждение справедливо для произвольной группы G. >

Определение. Приведенной силовой функцией натуральной системы с группой симметрий G, отвечающей постоянной момента /о = с, называется функция Vc:M-*-R, равная V — <wc, иО/2.

Лемма 3. Функция Vc инвариантна относительно Gc, где GcCzG — стационарная подгруппа элемента с&§* ^присоединенного действия G на $* (см. предложение 1).

Следствие. Если G коммутативна, то Vt постоянна на орбитах группы G.

Это утверждение позволяет корректно определить приведенный потенциал Uc =—Vc как функцию на базе N.

Теорема 14. Функция y : А-*-М является движением натуральной системы (М, < , >, V) с постоянной момента /с = с тогда и только тогда, когда проекция ц = рг ° у : &-+N удовлетворяет дифференциальному уравнению

^ (6)

где Le= < и. И > /2 + Vc, Fe(v)=Qc(-, v).

Теорему 14 можно вывести, например, из теоремы 9.

Уравнение (6) можно рассматривать как уравнение движения натуральной системы (N, < , ~ >, Vc) под действием дополнительных непотенциальных сил Fc. Так как Fc(v)-v = = Qc(i\ о) =0, то эти силы не производят работы на действительном движении. Они называются гироскопическими.

Поскольку форма Qc замкнута, то локально Qe = dac. Следовательно, уравнение (6) является уравнением Лагранжа [Яе]=0, где Rc = Lc-Oic. Функция Рауса Rc определена в целом на TN только тогда, когда форма Qc точна.

Пример 11. Рассмотрим вращение твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле. Кинетическая энергия и потенциал допускают группу поворотов SO(2) вокруг оси симметрии поля. В этой задаче M диффеоморфно базисному пространству группы SO (3). Факторизация SO(3)1 /SO (2) была впервые проведена Пуассоном (S. D. Poisson) следующим образом. Пусть е — единичный вектор оси симметрии силового поля, рассматриваемый как вектор подвижного пространства. Действие подгруппы S0(2) на S0(3) пра-

16-2 выми сдвигами сохраняет е. Множество всех положений вектора е в подвижном пространстве образует двумерную сферу S2 — «сферу Пуассона». Точки S2 «нумеруют» орбиты группы поворотов SO (2). Таким образом, мы имеем расслоенное пространство SO (3) со структурной группой SO (2) и базой S2. Группа симметрий SO (2) порождает первый интегргл — сохраняется проекция кинетического момента твердого тела на ось с направляющим вектором е. Фиксируя его постоянную, можно свести задачу к исследованию приведенной системы с пространством положений S2. При этом функция Рауса не определена в целом, поскольку форма кривизны Q не точна: при всех значениях главных моментов инерции
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed