Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Ранг квадратичной формы. В терминах матриц теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметричной матрицы А существует такая невырожденная матрица В, что B7AB = D, где D — диагональная матрица. Обозначив С = В~1, получим A== C7DC
Из доказательства теоремы ясно, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов — например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы BaD определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено, именно, оно равно рангу матрицы А. Этот ранг называется рангом квадратичной формы.
Для доказательства установим сначала справедливость следующих предложений.
Предложение 2. Ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных). не превосходит ранга каждого из сомножителей.
. Доказательство. Столбцы матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы А. Поэтому ранг AB, равный максимальному числу линейно независимых столбцов, не превосходит ранга А. С другой стороны, строки AB являются линейными комбинациями строк В, поэтому ранг AB не превосходит ранга ?.
Предложение 3. Если один из сомножителей есть квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу другого сомножителя.
Действительно, пусть C = AB и В — невырожденная квадратная матрица. Тогда ранг С не превосходит ранга A. Wo A = CB-1, так что ранг А не превосходит ранга С. Следовательно, эти
150
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ІГЛ. V
ранги равны. Аналогичное рассуждение применимо к случаю, если левый сомножитель есть квадратная . невырожденная матрица.
Из предложения 3 непосредственно следует: если F = ВАС, где В и С — невырожденные квадратные матрицы, то ранги матриц F и А совпадают.
Применяя это к матричному равенству
D = СТАС,
где С — невырожденная квадратная матрица, получим, что ранги D и А совпадают. Но ранг диагональной матрицы D, очевидно, равен числу ее ненулевых элементов. Итак, число ненулевых коэффициентов после приведения квадратичной формы к каноническому виду не зависит от способа приведения и равен рангу матрицы квадратичной формы.
5. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством унитреугольного преобразования переменных. Вернемся еще раз к доказательству теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Если на каждом шагу индуктивного рассуждения «выделение квадрата» происходит без вспомогательного преобразования, то на каждом шагу матрица преобразования имеет вид правой унитреугольной матрицы. Так как произведение правых унитреугольных матриц есть, очевидно, правая унитре-угольная матрица, результирующая матрицы преобразования будет тоже правой унитреугольной.
Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма с невырожденной матрицей могла быть преобразована к каноническому виду преобразованием переменных с верхней унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц ее матрицы были отличны от нуля.
Доказательству этой теоремы предпошлем другую теорему, представляющую самостоятельный интерес.
Теорема 5. для того чтобы квадратная невырожденная матрица представлялась в виде произведения левой унитреугольной, диагональной и правой унитреугольной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц были отличны от нуля. Такое представление однозначно.
Доказательство. Необходимость. Пусть
« 1] ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 151
*ак что А =¦ An. Пусть, далее,
1
0
.. 0
... 0
Ьп
1
.. 0
... 0
L =
ьы
bk2
.. 1
... 0
Kx
Ьп2
... і
1
СІ2 •¦
clh ...
0
1 ..
C2k •••
C2n
R =
0
0 ..
1 ...
ckn
0
0 ..
. 0 ..
1
diag(db
• , dk,
.., d
Ru =
и A = LDR. Тогда det A = det L det D det R = dxd2 как det А Ф 0, должно быть d; Ф 0, і = 1, 2, ..., п. Легко видеть, что
Ak = LkDkRk,
d2, .... dft) ... dn и, так
откуда следует, что det Ak = det Dh = did2 ... акф0.
Достаточность. Применим метод математической индукции по субматрицам Аи A2, Ak, An = A. При k= 1 утверждение теоремы тривиально. Пусть оно верно для Ah-\, и в этом предположении докажем его для Ak.
Разобьем матрицу Ак и искомые Lk, Rk, Dh на клетки, выделив блок Ak-i, так что
°* = (о
Здесь « = (?it, ..., ak-i, k)T, V = (uk\, ..., ак, k-\), X — неизвестная строка в матрице Lk, у— неизвестный столбец в матрице Rk, символом 0 обозначены нулевые строки и столбцы.
Пусть Ak = LkDkRh- Выполняя умножение по правилу умножения блочных матриц, получим
Lk-\Dk_\Rk-\ = Ak_\,
Lk-\Dk-iy = u, xDk^lRk_l = v, xD^y + dk^ukk.
В силу индуктивного предположения Lk-i, Dk-\ и Rk-t можно считать известными, обратимыми и определенными однозначно. Тогда
152
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
(ГЛ. V
однозначно определяются у, х и dk, именно, y = Dk-iLk-iu, х = ==,vRb-iDk~l-1Hdk=akk—xDk_.ly.OcTaeTcny6eri,mbcn в том,что акфО, что нужно для обратимости Dk- Но
