Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
+ -?-**,+ - + дЬй-
Все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, и, следовательно, исходная форма положительно определена.
Итак, для выяснения положительной определенности квадратичной формы имеются два критерия. Естественно поставить вопрос о том, который из них лучше. Это зависит от ситуации.
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
155
Если квадратичная форма задана численно, то для приведения ее к каноническому виду требуется приблизительно" столько же арифметических операций, как при вычислении одного определителя. Так что в этом случае первый критерий проще. Для теоретических же исследований лучше критерий Сильвестра, так как он дается простыми формулами.
3. Закон инерции квадратичных форм.
Теорема 3. Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническому виду, то число квадратов новых переменных с положительными коэффициентами будет одинаково, так же как число квадратов новых переменных с отрицательными коэффициентами. Иными словами, число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.
Доказательство. Пусть дана форма, приведенная к каноническому виду двумя способами:
Считаем, что все а,- и ?, положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми посредством следующих невырожденных преобразований:
Xn = Ьп]уі + . -. + bnnyn; yn = /„і*і + • • • + tnnxn;
JCl = Ci1Z1+ ••• + С)пгп> z\—gUx\-\- • ¦ • -\-g\nXn,
Xn —• cnizi + • • • + cnnzn; Zn — gn\x\ + • ¦ ¦ + SnnXn-
Допустим, что число положительных коэффициентов не одинаково. Будем считать, для определенности, что р < s. Положим i/i = 0, ..., ур = 0, Zs+i = 0, .... Zn = 0. Все yi и Z1 являются линейными формами от леї, ..., хп. Таким образом, написанная совокупность равенств есть система линейных однородных уравнений относительно jt], X2, jcn. Число неизвестных равно п, число уравнений равно р + л — s < п. Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть х\, je* —одно из них. Соответствующие значения для у\, ..., уп обозначим через у\, ..., у"п. Заметим, что у] = ... = у*р = 0. Соответствующие значения ДЛЯ Zi, ...,Zn обозначим через г\, z*. Эти значения не равны одновременно нулю (иначе равнялись бы нулю х\, ..., jQ, но = 0, ..., z]~ = 0. Поэтому среди чисел г*, ..., г* имеются отличные от нуля.
= а,у2+ ... +арУ2р
?s+l2i+l — • • • ?s+ tZ\+ f
156 КВАДРАТИЧНЫЕ. ФОРМЫ [Гл. V
A1 = Un ?= О, A2 =
О, .... An == det А Ф О,
то можно дать формулу для числа отрицательных коэффициентов в канонической форме. Именно, оно равно числу перемен знаков в ряду чисел
1 = A0, A1, A2.....An.
Действительно, коэффициенты в канонической форме, получающейся при преобразовании с правой унитреугольной матрицей,
равны
Ai Aa Аз А«
A0 ' Л, 'A2' "•'An-I '
так что число отрицательных среди них равно указанному выше числу перемен знаков.
§ 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
1. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Пусть А — квадратная матрица с элементами, являющимися комплексными (в частности, вещественными) числами. Ненулевой столбец X называется собственным вектором матрицы А, если имеет место равенство AX = KX при некотором комплексном (возможно, вещественном) А,, называемом собственным значением матрицы А.
Из представления f(xlt xv xn) = axy'\-\r ... -\-apifp-~
- ар+1У2р+1 - - -. - ар+чУ2р+ч имеем:
f.«.....- wAi - • • • - V А* < °-
Из другого представления:
o=?i2i2+...+?x2>o.
Последнее неравенство строгое, ибо среди zj.....z's имеются
отличные от нуля. Мы пришли к противоречию, так что предположение о различии числа положительных коэффициентов неверно.
Для установления равенства числа отрицательных коэффициентов достаточно перейти к форме —f{xi.....х„) и ее каноническим представлениям
- / (X1, ..¦,Xn)=- аху\ - ... - ару> + <хр+1у2р+1 +'...+ %+<,У2р+д
= - ?l2? - ... - ?sz* + ?,+lz»+I + ... + ?,+fz*+(
и применить уже доказанное утверждение о равенстве положительных коэффициентов. Теорема доказана полностью. Заметим еще, что если
$ 3] ортогональное преобразование к каноническому виду 157
Теорема 1. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами существует по крайней мере один собственный вектор с комплексными компонентами.
Доказательство. Пусть
А ¦¦
In 2л
X-
и пусть AX = XX. Это значит, что
ацх1 + а12*2 "I"-''
Xx2
fl21*l "^" а22Х2
=
1а„Л + а„2*2 + •••
+ аппХп J
Ях
п I
приравнивание
компонент дает
a\\xi + 012*2 ~\~
• • + OtnXn =
O2[X1 + а22х2
• • ~\~ O2n
Xn —
= Ax2,
O111X1 + ап2х2 +
.,.-(- аппхп =
или
(А — оц) х[ Й12Х2 ' - 021*1 + — агг) X2
¦ аХпхп = О, ' O2nXn = О,
(*)
— а„і*і — ап2х2 — ... + (Л — апп) Xn = 0. Это однородная система линейных уравнений относительно хь -х2, ..., хп, причем нас интересуют ненулевые решения этой системы. Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю:
