Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 2. Если все коэффициенты при квадратах равны нулю, но хотя бы один коэффициент формы отличен от нуля, то можно сделать невырожденное линейное преобразование переменных так, что после него коэффициент при квадрате одной из новых переменных окажется отличным от нуля.
Действительно, пусть 011==022= ••• =апп = 0, но ац,фО. Сделаем преобразование
Xi = у....., Xi = yi-\-yk, .... xk= уk, .... Xn = уп.
Это невырожденное преобразование, так как оно, очевидно, обратимо. Подсчитаем коэффициент при у\. Переменная yk входит только в X1 и Xk, поэтому у\ может появиться только из членов анх\, akkx\ и 2aikXiXk квадратичной формы. Первые два равны нулю. Третий преобразуется в 2аіь(уі + уч)ук, так что коэффициент при у\ равен 2аікф0.
Сделав еще преобразование первого типа, добьемся того, чтобы коэффициент в позиции (1, 1) стал отличен от нуля.
Доказательство теоремы. Применим метод математической индукции по числу п переменных. При п = 1 форма равна аил:2, так что доказывать нечего. Допустим, что для формы от числа переменных, меньшего чем п, теорема доказана. Пусть
Если все коэффициенты равны нулю, то форма равна нулю, и доказывать нечего. Пусть хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что ацФ0, ибо если ои = 0, то можно сделать вспомогательные преобразования, после которых коэффициент в позиции (1, 1) станет отличным от нуля.
Соединим вместе все слагаемые, содержащие xit и вынесем из них а,, за скобку. Получим
f(xv X2,..., Xn) = ап(х\ + -Ці!xiX2+ ... +
Xl = yk, Х2 = Уї.....Xk= уі.....Xn = у п,
= аид:2 + O12X1X2 + •. • + H111X1Xn + + O21X2X1 + а22х2 + ... + а2пх2хл +
+ Wi + ап2хпх2 + ... + аппх\.
+ а22х\ + ... +O3nXgXn +
146
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ГГЛ V
Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы. Получим
[(X1, х2, хп) = ап (дг, + ^x2 + ... + ~хпУ-
-fln Off-*.+ ••• +"ff'.)' + ?*!+ ••• -
= ап (*i + -gj-*a + ... +^л Xn)2+ (P(X2.....*„).
Здесь через Cp(X2, Xn) обозначена квадратичная форма от
^2, ¦ • • > Xn.
Теперь сделаем преобразование:
Xi ~\—— X2+ ... -J--— Xn = Wi,
= Уъ
X и — //га>
или, что то же самое,
X2 = 1/2,
== Уп-
Это невырожденное преобразование, после которого форма превратится в апу\ + ц(уг, //,, уп). Форма <р(у2, у3.....уп) зависит от п—1 переменной. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование
У2 — °22z2 + • . • + b2nZn, Уп~°п2^2+ - •• +bnnZn,
после которого получится:
ф(>2. •••.•O = a2Zl + • • • + аА-
Добавим к преобразованию еще одну строку: JZi = г,,
уг == b22z2 + ... + b2nzn,
У п = K2Z2+ ... +bnnzn.
Это преобразование, очевидно, невырожденно, и после его применения форма
f(xi, х2> • xn) = any^ + (f(y2.....Уп)
9 I] ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ )47
примет канонический вид:
Несколько невырожденных линейных преобразований можно заменить одним невырожденным, ибо композиции преобразований соответствует умножение матриц, а произведение невырожденных матриц невырожденно. Теорема доказана.
Заметим, что хотя мы теорему сформулировали для вещественных квадратичных форм и вещественных преобразований — именно этот случай наиболее интересен для приложений— теорема остается верной для квадратичных форм с коэффициентами из любого поля К, характеристика которого не равна 2, при преобразованиях над тем же полем К.
Рассуждение посредством метода математической индукции есть, по существу, краткая запись единообразного процесса, состоящего в повторении индуктивного перехода. Поэтому данное доказательство дает и способ преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один пример.
= х\ + 2лг,х2 — 2X1X3 + Ax1X4 + х2, + Gx2X4 + х\ — Ax3X4 + 4х\ = «=(*! + хг-х3 + 2х4)2 - (Jf2 - x3+2x4)2+x2+Qx2x4+x2-4x3x4+4x2=
X1, х2, х3, X4
= х'\+ X1X2- X1X3 + 2X1X4 +
+ X2X^ + X2 + 3X2X4
— X3X1 + xj — 2х3х4 +
+ 2X4X1 + Sx4X2 — 2лг4лг3 + 4х\ =•
= (JC1 + X2 — JC3 + 2JC4)2 + 2JCjJC3 -j- 2JCJjJC4.
Положим
JC1 + X2
JC3 + 2JC4 = */,,
= 4/2.
Xi= У і,
т. е. сделаем подстановку
X2=* X3 =
Уг + Уз — ЇУі. Уь
У*
148
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
fr л. V
Придем к форме y2 + <f(y2, уг, у і), где ц>(у2, у3, y4) = 2y2y3 + 2y2yv Здесь нужно вспомогательное преобразование:
y\=zu
Уз = гч + 2з> У\ = г<.
после которого
<р O2, </3, = 24 + 22^3+ 22Z^4 =
2 23 2з24 "2 2V
Теперь делается замена
Zl
«I,
Z2
= и2-
= "з,
Z4
==«4.
2 2
после которой придем к равенству
Ф (</2, #3' #4) = 2М2 + Фі («3' Ы4)'
где
Ф,(и3, U4) = - \и2- U3U4-!и2=-L(U3 + иіУ'
Очередная замена:
Ui = V1,
U2 = V2,
U3 = V3- V4,
U4 = V4,
которая дает <p, («3, U4) = —\v\- Итак!
/ = У\ + Ф (У2, Уз, </„) = z? + 2Z2= + 2z2z3 + 2Z2Z4 =
, «= и\ + 2и\ + ф, (и3> M4) = of + 2v\ - j 4
ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
49
В этом примере перед вторым шагом мы «споткнулись» о вспомогательное преобразование.
