Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Треугольная матрица называется унитреугольной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Выясним, как изменяются строки матрицы А при умножении ее слева на правую унитре-угольную матрицу С. Пусть
'Ai
_І 0 1
Im
и А =
Здесь Ai, Имеем:
¦ О 0 ... 1 '
¦строки матрицы А.
A1
Ат\
так что первая строка получена из первой строки А прибавлением Последующих строк, умноженных на с^, сШг вторая — из
§5)
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
127
второй прибавлением последующих строк с соответствующими множителями и т. д., последняя остается без изменения.
Если А — квадратная матрица, то при всех описанных преобразованиях определитель матрицы не изменяется, так что det CA= = det Л.
Если С — левая унитреугольная матрица
1 0 ... о>
то
CA =\
СтА+Ст2А2 + •¦•+А.
и здесь описание преобразований удобно начинать с конца: к последней строке прибавляются предшествующие, умноженные на
CmI, Ст2, Ст,т-\, К ПрЄДПОСЛЄДНЄЙ — Предшествующие, умНО-
женные на соответствующие элементы матрицы С, и т. д.; ко второй строке прибавляется первая, умноженная на с2\, и первая остается без изменения. Поэтому и в этом случае det CA = det Л.
При правом умножении на унитреугольную матрицу С происходят аналогичные преобразования столбцов, поэтому также det AC= det Л.
4. Определитель произведения двух квадратных матриц. Имеет место следующая замечательная теорема:
Теорема 2. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
Теорема эта представляет собой глубокое тождество, непосредственная проверка которого требует некоторых усилий даже для
п = 2. Выполним эту проверку. Пусть A= (^ # = ^).
Тогда АВ = (ах + Ь/'ау + Ь/Л и м V сх + dz, су + dt )
det AB = (ах + bz) (су -f dt) — (ay + Ы) (сх + dz) =
= ахсу + axdt -f- bzcy + bzdt — aycx — aydz — btcx — bdtz = = adxt + bcyz — adyz — bcxt = (ad — be) (x( — yz) = det Л det ?.
О непосредственной проверке теоремы даже для п = 3 страшно подумать. Тем не менее, у нас "уже имеется достаточно сведений об определителях и матрицах для того, чтобы дать краткое косвенное доказательство теоремы.
Доказательство. Пусть Л и В — две квадратные матрицы
порядка п. Рассмотрим матрицу ( _ ^ порядка 2п. По
128
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
теореме об определителе ступенчатой матрицы det^_^ 5 )— = det Л det ?. Умножим теперь эту матрицу слева на унитре-угольную матрицу Е ) ¦ При этом определитель не изменится. Таким образом,
det A det S = de. (J ?)(
В последнем определителе поменяем местами первый столбец с (п+1)-м; второй с (я + 2)-м и т. д. Это равносильно перестановке блоков-столбцов. Определитель приобретет множитель (—1)". Итак,
det Л det ? = (-1)" det
Применив еще раз теорему об определителе ступенчатой матрицы, получим
det Л det ? = (—1)"det ABdet(—E) = det AB,
что и требовалось доказать.
5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. Собственно говоря, те приемы вычисления определителей, которые мы рассматривали раньше, можно рассматривать как левые умножения (при комбинировании строк) или правые умножения (при комбинировании столбцов) на вспомогательные матрицы, именно, матрицы трансвекций. Мы должны были внимательно следить за тем, чтобы не прибавить уже измененную строку (или столбец) при линейном комбинировании. Теорема об определителе произведения дает большую свободу для линейного комбинирования строк (или столбцов) за счет умножения на подходящие вспомогательные матрицы. Определитель при этом может меняться, но мы в состоянии учесть это изменение, именно, определитель приобретает множителем определитель вспомогательной матрицы. Остается следить только за тем, чтобы не умножить на матрицу с нулевым определителем.
Пример 1.. Найти det А, если
(а b с bad с d а deb
Здесь напрашивается несколько способов линейного комбинирования строк. Хорошо сложить все строки. Не менее хорошо сложить первые две и вычесть третью и четвертую, сложить первую с третьей и вычесть вторую и четвертую и, наконец, сложить первую с четвертой и вычесть вторую и третью. Все эти преобра-
151
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
129
зования выполнятся одновременно, если исходную матрицу умножить слева на матрицу
і і 1 і і -1 1 -і і —і —1
Действительно
и
det CA
,а + b + с + d а + Ь — с — d а — b + с — d
ка — Ь — с + d
= det С det А --X {а — b + с
a+& + c + d a + b + с + d u + & + r + dN
a + b — с — d —a — b+c + d —a — b+c + d
¦a+o—с+d a—b+c—d —a+b—c+d
-a-j-fr + c — d — а + 6-fc — d a — o — с + d/
(a + & + с + d) (a + b 1
d) (a — b — с + d)
t —
:(a + b + c-r-rf)(a + &- c
l -l -l d){a — b -\- с — d){a
d)X і і і —l і —l і l
b—c+d) detC.
Остается убедиться, что det С ФО. Мы его вычисляли выше, он равен —16. Но легко также убедиться в справедливости неравенства det С ф 0, учитывая, что