Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 58

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 168 >> Следующая


Я — а,

*1л

Я — а,

22

= 0.

~"п\ ип2 ¦¦¦ "п

В матричной записи det(A,? — A) = O, т. е. А. должно быть корнем .характеристического полинома det(?E— A) = t"-{- ... матрицы А. В силу алгебраической замкнутости поля .Cj комплексных чисел характеристический полином имеет корни, и каждый из них является собственным значением для некоторого собственного вектора, компоненты которого находятся из линейной однородной системы.

Заметим еще, что собственные значения, т. е. корни характеристического полинома, часто называют характеристическими числами матрицы.

158

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

ЇГЛ. V

2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.

Теорема 2. Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны.

Доказательство. Пусть А — вещественная симметричная матрица и X — некоторый ее собственный вектор с комплексными компонентами, так что AX = KX при некотором X. Подсчитаем двумя способами число a = X1AX (черточка наверху обозначает, как обычно, комплексное сопряжение). Это действительно число, ибо оно_ есть произведение строки Xі на столбец АХ. Имеем: а = = X7Ax. Но (а)г = а, так как число а, рассматриваемое как матрица первого порядка, при транспонировании не изменяется. Поэтому а = (Х'АХ) =XlA X' = Х AX= а. Итак, а = а, т. е. а — число вещественное. С другой стороны, a = X1AX = X1XX = X(x\X\ + ... ... + xnXn) = X(\xi\2-і- ... -r-|*«|2). Ввиду того, что X^=O,

UiIH- - ¦ ¦ +i*«l2 > 0 и A = | Xi р + а + {Хп |2 есть число вещественное.

Теорема доказана.

Хочется отметить нетривиальность содержания доказанной теоремы. Мы еще не располагаем критериями вещественности корней полинома с вещественными коэффициентами при п > 2. В дальнейшем мы увидим, что такие критерии не просты. Тем не менее мы получили сейчас широкий класс полиномов, все корни которых вещественны — это характеристические полиномы вещественных симметричных матриц. Даже при п = 2 применение общеизвестного критерия неотрицательности дискриминанта требует некото-

тогда uei(tE— А)= г2 — (а + с)/ + ас — Ь2, и дискриминант D равен (о + с)2 — 4(ас — Ь2) = (а — с)2 + 4b2 ^ 0.

Из вещественности собственных значений вещественной симметричной матрицы следует, что компоненты собственных векторов можно брать вещественными. Действительно, они определяются из линейной однородной системы уравнений с вещественными коэффициентами. Ясно, что если X есть собственный вектор матрицы А, то сХ при любом с ф 0 будет собственным вектором, принадлежащим тому же собственному значению. Действительно, если AX = XX, то А(сХ) = XcX. Поэтому собственные векторы для вещественной симметричной матрицы всегда можно выбирать нормированными. Действительно, если X — какой-либо собственный вектор и х] + х\ + ... + х2п = г2, то столбец —f X останется собственным вектором и будет нормирован.

3. Построение ортогональных матриц. Напомним, что матрица называется ортогональной, если ее столбцы нормированы и попарно ортогональны.

рых преобразований. Действительно, пусть' п = 2, A =

- S 3] ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 159

Лемма. Пусть X1, X2, ..., Xk — вещественные нормированные попарно ортогональные столбцы длины п, и пусть k < п. Тогда существует нормированный столбец Xk+i, ортогональный столбцам X1, X2, .... Xk-

Доказательство. Пусть

X1=(AT11, X2I, хп1)т,

X2 = (AT12, AT22, Хп2)т,

Xk = (xlki X2k> •••> xnk)T

и

X^+1 = (z1( z2, ..., Zn) .

Запишем требования ортогональности и нормированности в виде уравнений. Придем к системе:

.JC11Zl -+- AT21Z2 + . . . + Xn\Zn = О, xi2zl + -%2? + • • • + xn2Zn = 0>

*iaZ, + jc2fez2 + ... + хпкгп = 0.

Первые k уравнений образуют линейную однородную систему, причем число уравнений k меньше числа неизвестных п. Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть z], z*. z* — одно

из них и г2 = z]2 + г*2 + ... -f Zn2. Тогда числа у z\, у z*, ..., у z*

будут удовлетворять всем уравнениям системы, т. е. дадут решение задачи.

Заметим, что условие k <. п здесь существенно. При k = п столбцы составляют ортогональную матрицу, она невырожденна, и система для определения Xft+1 окажется несовместной, так что более чем п попарно ортогональных нормированных столбцов не может существовать.

Отметим следующие следствия:

Любую матрицу, состоящую из попарно ортогональных нормированных столбцов, можно дополнить до ортогональной матрицы. Действительно, столбцов в такой матрице не может быть больше п. Если их п, то матрица ортогональна. Если же их меньше п, то можно присоединять новые столбцы до тех пор, пока не придем к ортогональной матрице.

В частности, любой нормированный столбец может быть принят за первый столбец ортогональной матрицы.

Пример. Вложить столбец (1/3, 2/3, —2/3)т в ортогональную матрицу.

Этот столбец нормирован и к нему нужно пристроить еще два нормированных столбца, ортогональных между собой и

160

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

[ГЛ. V

ортогональных данному. Присоединяем их по одному:

z! + zi + 4
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed