Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для подсчета свободного члена положим t = 0. Получим (—\)пЪп = det (—Л) = (—1)" det А, откуда b„ = det А-
Остальные коэффициенты тоже можно подсчитать, но это несколько сложнее.
142
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1ГЛ. IV
2. Теорема Кэли — Гамильтона.
Теорема 1. При подстановке матрицы в ее характеристический полином получается нулевая матрица.
(Иными словами, матрица является корнем своего характеристического полинома.)
Доказательство. Обозначим через В матрицу, союзную с tE — Л. Ее элементы принадлежат кольцу K[t] и являются полиномами от t не выше (п— 1)-й степени, ибо они равны, с точностью до знаков, минорам (п—1)-го порядка матрицы tE — А, элементы которой содержат t не выше чем в первой степени.
Можно записать
В = S1/"-1 + B2I"^ + . . . + Bn-lt + Bn,
где B1, B2.....Bn-i, Bn — матрицы над k.
По свойству взаимной матрицы имеет место равенство В (iE — A)= del {iE—A)E, которое можно записать подробно
(B1C-1 + B2t"~2 + ... + Bn-Xt +Bn) (tE —А) =
= (t«-bxt^ + ... + (-I)-1W+ (-1)ЯМ?.
По определениям равенства матриц и равенства полиномов, мы вправе приравнять коэффициенты при одинаковых степенях на всех позициях, что равносильно приравниванию матричных коэффициентов при степенях t.
Получаем цепочку равенств:
B2 — B1A = — ЬгЕ, B3-B2A = Ь2Е,
Bn-Bn^A = (-1)^0^, -ВпА = (-\)пЬпЕ.
Умножим справа первое равенство на А", второе на Ап~1, третье на А"-2, ..., (п— 1)-е на А и сложим с последним. Слева все слагаемые взаимно уничтожатся и останется нулевая матрица. Справа получим Ап — Ь\Ап~х + Ь2Ап~2 + ... + (—1 )"-'&„-! А + (—1 )"&„?.
Итак,
/ (Л) = Ап — b\An~l + b2An~2 + ... +(-I)^1M-I-H)V=O1 что и требовалось доказать.
ГЛАВА V КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв
1. Определение и матричная запись квадратичной формы.
Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких букв. Обозначим эти буквы через Х\, х2, ... .... х„. В общем виде квадратичная форма может быть записана так:
/(*1> х2, Xn) = C11Xf + C12-V1AT2-T" ••• ~f" cinxiXn +
+ C22*2, + ... +C2nX-Pn +
+ С Xі. 1 я! п
Коэффициенты в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна. Если в поле (или кольце), из которого берутся коэффициенты формы, выполнимо деление на 2, то удобнее каждый недиагональный коэффициент разделить на 2 и записать два раза, при произведениях букв в обоих порядках. Запись примет вид
/(*i.-*2.....хп) = а1хх] + а12х.х2 + ... +O1nX1Xn +
+ U21X2X1 + U22Xl + ... + U2nX2Xn +
+ ап\xnxi + а„2*А + • • • + amx*,
причем ац = ац. Такую запись квадратичной формы назовем правильной.
(аи «із ... «ш \ Я.21. Г*! ?*!* J называется матрицей квадра-«Л! «л2 • • • «ЛЯ /
тичной формы. Она симметрична, т. е. А1 = А.
Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося X1 из первой
144
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ІГЛ. V
строки записи, X2 из второй, хп из последней, получим / (хх, х2, .... Xn) = Xx (ахххх + а,2дс2 + . • • + аыхп) +
+ X2 {?2XXx -\- CL22X2 + ...-}- CL2nXn) +
+ Xn (апХхх + ап2х2 + ... + а„„х„)
(X1, X2, . . •, Xn)
•апхх + Ci2X2 +
+ (JinXn
. aniXi + ап2х2 + ... + аппхп.
— (X1, X2, ..., Xn)
'«и O12
а2і а22
. алі ап2 ... ann .
/X1
X2
Обозначив столбец (хь х2, хп)т через X, получим l(xi, X2.....JC) = JfMJf.
2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.
Пусть в квадратичной форме f(X) = ХТАХ делается линейное преобразование переменных с невырожденной матрицей: X = BY. Тогда квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму от букв t/i, (/2, уп (компонент столбца У), именно, в fi(Y) = = Y7B1ABY = Y7(B7AB) Y. Покажем, что форма fi(Y) автоматически полупилась правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица B7AB симметрична, что легко проверяется: (B7AB)7 = B^A7B77 = B7AB.
3. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
Теорема 1. Для любой квадратичной формы с вещественными коэффициентами можно сделать линейное преобразование переменных с невырожденной вещественной матрицей так, чтобы матрица преобразованной формы имела диагональный вид, т. е. чтобы преобразованная форма состояла только из квадратов переменных с некоторыми коэффициентами.
Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональна.
Предпошлем доказательству этой теоремы две леммы о вспомогательных преобразованиях.
Лемма 1. Если коэффициент ах1 при квадрате хх первой переменной равен нулю, но хотя бы один квадрат входит с ненулевым коэффициентом, то можно сделать линейное преобразование с невырожденной матрицей, после которого коэффициент при квадрате первой переменной станет отличным от нуля.
линейное преобразование К каноническому виду
145
Действительно, пусть dkk Ф 0. Сделаем преобразование переменных:
т. е. примем исходные переменные за новые, изменив их нумерацию. Ясно, что это преобразование дает требуемый эффект^