Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для матриц с элементами из коммутативного ассоциативного кольца (не обязательно поля) те же рассуждения дают следующее условие обратимости:
Для того чтобы матрица А с элементами из коммутативного ассоциативного кольца А была обратима над тем же кольцом, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был обратимым в кольце А элементом.
Действительно, необходимость следует из равенства
det A det Л-1 = 1,
а определитель матрицы с элементами из Л принадлежит Л. Для достаточности нужно заметить, что элементы союзной матрицы A принадлежат кольцу Л и, если det А обратим в Л, то матрица (det A)-1A будет обратной, и ее элементы принадлежат Л.
Например, для целочисленной обратимости матрицы с целыми элементами необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен ±1. Для обратимости матрицы над кольцом полиномов необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равной, нулю константой, и т. п.
2. Некоторые свойства обратной матрицы.
1. det А-1 = (det А)-1.
Действительно, АА~1 = Е, следовательно, det Л det Л—1 = «= detE= 1, откуда (det А)-1 = deM-1.
2. Если А и В невырожденны, то их произведение AB тоже невырожденно и (AB)-1 = B-1A-1, т. е. матрица, обратная к произведению, равна произведению обратных, взятых в обратном порядке.
Действительно,
(В-1A-') (AB) = B-' (A-'А)В = В-'В = Е,
откуда следует, что B-1A-1 =(АВ)~1. З (л-і)-і = А.
Действительно, (A-')-1 есть такая единственная матрица, произведение которой на А-1 равно Е. Этим свойством обладает А. 4. (A^)-' = (А-')\
Действительно, переходя в равенстве AA~l = E к транспонированным матрицам, получим (А~')1АУ = Е, откуда и следует* что (Л-і)т = (Лт)-'.
3. Решение линейных систем с невырожденной матрицей в терминах обратной матрицы. Пусть дана система линейных уравнений
Ax = Ъ,
где А — невырожденная квадратная матрица, х — столбец из неизвестных, Ь — столбец свободных членов.
ОБРАЩЕНИЕ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
137
Допустим, что система имеет решение и х уже есть решение, так что Ax = Ь — верное равенство. Умножим обе части его на А~1. Получим A-1Ax = A~lb, откуда х = А~ХЬ. Теперь докажем, что А~ХЬ действительно есть решение: A (A~lb) = (AA~l)b = b.
Мы находились в условиях теоремы Крамера, и приведенные несколько строк представляют собой доказательство теоремы Крамера. Легко проследить, что то доказательство, которое было приведено, в точности совпадает с данным сейчас, но было осуществлено в развернутой записи. Именно, умножение уравнений системы на алгебраические дополнения и сложение представляло собой не что иное, как умножение слева на союзную матрицу. Вторая часть, проверка, представляла собой подстановку А~1Ь вместо х, но в развернутой записи. Ясно также, что равенство
X = A~xb = de|^ Ab есть матричная запись формул Крамера.
Столь же кратко записывается решение матричного уравнения AX=B, где A1—невырожденная матрица порядка п, X— неизвестная п X ^-матрица, В — данная п X ^-матрица. Именно, X = = А~1В. Запись AX = В равносильна k системам линейных уравнений с одной и той же матрицей коэффициентов А, с неизвестными, составляющими столбцы матрицы X, и со свободными членами, составляющими столбцы матрицы В.
4. Обращение ступенчатой матрицы. Пусть ( ^ ? ) — невырожденная ступенчатая матрица с квадратными блоками А и D. Из невырожденности следует, что det А Ф 0 и det D ф 0. Пусть
(X Y \ Jj у\ — обратная матрица, разбитая на блоки в соответствии о
разбиением исходной матрицы. Из равенства fl ) ( ^ к)3
^(о я) слеДУЮт Уравнения AX = E, AY = O, CX+ DU = O, CY + DV = E.
Находим из первого уравнения X = А~\ из второго Y = O, из четвертого V = D~l и, наконец, из третьего U = —D-1CA-1, Итак,
(А 0 у1 _( А~1 0 \ U D) - V-D-'CM-' D-1J-
л (A SV1 (A~l -A~lBD~l\
Аналогично, Ud)=U d~1 ) '
5. Вычисление определителя матрицы, разбитой на четыре клетки, и обращение такой матрицы. Пусть дана матрица ( ?
с квадратными клетками А и D, причем предполагается, что
138
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
!ГЛ. IV
матрица А невырожденна. Умножим матрицу слева на матрицу
IHM
(-CA'1 I)' П0ЛУЩ
( А~1 0\(А В\_ҐЕ А-'В \
\-ca~1 е)Ус D)-^0 ^ca-'b + d)- {*}
+
Переходя к определителям, получим
А В
det Л-1 det (j! д) = det{D-CA~ 1B)
det (? I) = det A det (D -СА'1В).
Матрица D-CA-1B называется шуровским дополнением к.
субматрице А матрицы J ).
Перейдем теперь в равенстве (*) к обратным матрицам. Получим
-і
откуда
(А ВуЧ А'1 0\~_(Е A-1B Vі \С D) \-CA-1 E) U D-CA-1R) '
Ґ A By1^fE А~[В Vі/ А'1 0\ ІС D) U D-CA-1Bj \-CA~1 E)
(E -A-1B (D-CA-1B-V1^r А-1 0\_ Vo (D-CA-1B)'1 JK-CA-1 Е)~
( А'1 + A-1B (D - CA-1B)'1 CA'1 - A-1B (D - CA~lB)~l \ V -(D-CA-'B)'1CA'1 (D-CA-1B)'1 Г
Заметим еще, что если А, В, С, D — квадратные матрицы одинакового порядка, то формулу для определителя можно преобразовать к виду
det = det {AD-ACA' 1B),
