Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
$ 3] ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 163
Доказательство. Условие ортогональности х\у\-{-х2у2 + • • • ... + XnUn = 0 двух столбцов X = (хи х2, хп)т и Y = (уи у2>...
упу можно записать в матричном виде двумя равносильными формулами: X1Y = 0 или Y1X = 0.
Пусть А — вещественная симметричная матрица,.X1 и X2 — ее собственные векторы, соответствующие собственным значениям X-I и X2, причем Х\фХ2. Вычислим двумя способами число a = XJAX1. С одной стороны, AX1 = Х\Хи поэтому a = A-JXJX1. С другой стороны, из AX2 = X2X2 следует ХТЛ = A2XJ, откуда O = A2XJX1. Вычитая, получим (A1-A2)XJX1 = O, откуда XJX1 = O, ибо A2=^=Ai. Итак, столбцы X1 и X2 ортогональны, что и требовалось доказать.
6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. Даны две квадратичные формы f(xitx2,...
Xn) = X1AX и h(xu х2, Xn)=X1BX. Существует ли невырожденное линейное преобразование переменных X = CY, приводящее обе формы к каноническому виду?
Оказывается, такое преобразование возможно не всегда. Однако имеется один частный случай, когда такое приведение возможно, важный тем, что он часто встречается на практике. Именно, верна следующая теорема.
Теорема 5. Две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду посредством невырожденного вещественного линейного преобразования переменных.
Доказательство. Пусть f = ХМХ, h = XT?X и форма h положительно определенная. Сделаем преобразование X = CY, приводящее форму h к каноническому виду: C1BC = diag(di, d2,...
dn). Так как форма h положительно определенная, все коэффициенты di положительны. Сделаем теперь преобразование Y = = DZ, где D = diag(й*г'/2, d^1', ''O- ^то пРе°бразование
приведет форму h к чистой сумме квадратов г\ + г\ + ... + Zn, так что D1C1BCD = Е. Форма f превратится в форму с матрицей D1C1ACD. Преобразуем эту форму к каноническому виду ортогональным преобразованием Z = P-U. Это преобразование не изменит матрицы формы z\ + z\ + ... + z\, ибо P1EP = P1P = E в силу ортогональности матрицы Р. Итак, результирующее преобразование X = CDPU приводит обе формы к каноническому виду, причем положительно определенная приведется к виду чистой суммы квадратов и\ + и\ + ... + и2. Теорема доказана.
Остановимся еще на некоторых подробностях. Пусть M = = CDP — матрица результирующего преобразования. Тогда M1AM = diag(A1, A2, Xn), где A1, A2, Xn — некоторые общественные числа и M1BM = E = diag(1, 1, 1). Тогда
M1^B-A)M = diag(r — A1, / — A2, ..,** — Xn)
164
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
[ГЛ. V
И
detM7(tB —A)M = (t — Xi) (t —X2) ... (t — Xn).
Пусть det? = 60. Тогда (detM)2 = 6^1, так что det^? — А) = = b0(t — Xi) (t — X2) ... (t—^Xn). Тем самым коэффициенты Хи X2, Xn оказываются равными корням полинома det(^? — А), который иногда называют характеристическим полиномом матрицы А относительно матрицы В. Ясно, что этот полином лишь множителем bo отличается от полинома det(/? — B-1A), т. е. от характеристического полинома матрицы В~1А. Из равенств
M7AM = diag(A.i, X2, ..., Xn) и M7BM = diag(l, 1.....1)
следует
(M7BM)-1M7AM = M-1B-1AM = diag(A,i, X2, .... Xn),
так что матрица B-1A подобна диагональной матрице diag(A,1; X2,...
Xn) и все ее собственные значения вещественны. То же относится и к матрице AB-1 = B(B-1A)B-1, которая подобна матрице B-1A
Матрица положительно определенной квадратичной формы называется положительно определенной матрицей. Покажем, что матрица, обратная к положительно определенной, сама положительно определенная. Действительно, если В положительно определенная, то существует невырожденная матрица С такая, что B = C7DC, где D — диагональная матрица из положительных чисел. Тогда В'1 = C-1D-1 (С7)-1 = CjD-1C1, где C1 = (C1)-', Это значит, что квадратичная форма с матрицей ?-1 приводится к канонической форме с матрицей D-1, составленной из положительных чисел.
Сказанное выше о матрицах B-1A и AB-1 мы теперь можем сформулировать так:
Матрица, являющаяся произведением двух вещественных симметричных матриц, из которых одна положительно определенная, подобна вещественной диагональной матрице, и все ее собственные значения вещественны. Заметим, что произведение двух симметричных матриц, вообще говоря, не симметрично.
§ 4. Эрмитовы формы
1. Определение эрмитовой формы. Близким аналогом теории вещественных квадратичных форм при переходе к полю комплексных чисел является тефия так называемых эрмитовых форм.
Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных пере-га
менных Xi, х2, Xn и сопряженных Xi, х2,.. .,Xn вида Y Oi1X1X1,
причем предполагается, что ац = ац. В частности, все диагональные коэффициенты вещественны. Напомним, что матрицей С*,
§4]
ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
165
сопряженной с комплексной матрицей С, называется транспонированная матрица, в которой все элементы заменены комплексно сопряженными, так что С* = Ст. Эрмитову форму можно записать в матричных обозначениях в виде Х*АХ, где X = (хи х2, хп)г, причем матрица А ее коэффициентов обладает свойством А* = А самосопряженности или эрмитовости. При линейном.преобразовании переменных X = BY предполагается, естественно, что сопряженные преобразуются с сопряженными коэффициентами, т. е. X = BY, и тогда X* = Y*B*. Эрмитова форма преобразуется по формуле
