Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 52

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 168 >> Следующая


и если Л и С коммутируют, то

det(c д) = det HD —СЯ). Аналогично, записав det-Л правым множителем, получим

det ( с L)) ^ dei(DA - CA-1BA)

ОБРАЩЕНИЕ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

139

и, если А и В коммутируют,

det p) = det(DA-CB).

6. Ортогональные и унитарные матрицы. Вещественная матрица называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспонированной. В формульной записи: P ортогональна, если РРТ = Е,

Запишем это матричное равенство в развернутой форме. Пусть

Тогда

(Pn Pn • ¦ • Pm Pit Р22 ..• Риг Pm Pm ••¦ Рпп

)

ррт=(р?

2I + Р?2 + • • • + р\п Pt iPn + РкгРгг + • • • + Р\пРіп

На главной диагонали матрицы РРТ находятся суммы квадратов элементов строк матрицы Р. На остальных позициях находятся -суммы произведений соответствующих элементов двух различных строк. Поэтому равенство PP1 = Е, характеризующее ортогональ-. иые матрицы, записывается как

п

Z Pu = 1> І==1.....

1-і "

п

Zp</Pft/ = 0. i,k = \,...,n, іфк.

Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов ее элементов равна 1, и две вещественные строки называются ортогональными, если сумма произведений соответствующих элементов равна нулю. Таким образом, условие РРТ = E равносильно тому, что строки матрицы P нормированны и попарно ортогональны.

Из равенства РРТ = E следует P7P = E, или РТ(РТ)Т = Е. Таким образом, из ортогональности матрицы P следует ортогональность транспонированной с ней матрицы Рт и обратно. Однако развернутая запись равенства РТР = E полностью отлична от -записи РРТ = Е, именно, имеет вид нормированности и попарной ортогональности столбцов матрицы P1 Таким образом, мы

140

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

!гл. iv

получаем нетривиальное обстоятельство;—из нормированности я попарной ортогональности строк матрицы следует нормирован-ность и попарная ортогональность ее столбцов.

Отметим некоторые свойства ортогональных матриц.

1. Ортогональность P влечет ортогональность P-1. Действительно, P-1 = Рт, а ортогональность Рт уже установлена.

2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Действительно, PiP2(РіРг)Т = Р\РгРІРІ = PiEPj = PiPj = E.

3. Единичная матрица ортогональна. Действительно, ЕЕ7 = ЕЕ = Е.

Эти свойства означают, что ортогональные матрицы образуют группу.

4. Определитель ортогональной матрицы равен ±1. Действительно, det РРТ = (det P)2 = detE = 1, откуда det P =

= ±1.

Ортогональные матрицы разбиваются на два класса — собственно ортогональные с определителем 1, и несобственно ортогональные с определителем —1.

В дальнейшем мы увидим различие в геометрическом смысле собственно и несобственно ортогональных матриц.

Среди матриц с комплексными элементами существенную роль играют так называемые унитарные матрицы. Матрица Л*, комплексно сопряженная с транспонированной к А, называется сопряженной с Л, т. е. Л* = Лт, где черточка наверху — зна:к комплексного сопряжения. Матрица Q называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной. Записав равенство QQ* = E в развернутой форме, получим

п п

Z^/?= Z1I?./12== •> —і. •••>«.

я

Z QuQkI = O, i,k=\,...,n, і Фіг. ;=і

Строка из комплексных чисел называется нормированной, если сумма квадратов модулей ее элементов равна 1. Две комплексные строки называются ортогональными, если сумма произведений элементов одной строки на числа, сопряженные с соответствующими элементами второй строки, равна 0.

Таким образом, равенство QQ* = E обозначает, что строки матрицы Q нормированны и попарно ортогональны. Равносильное равенство Q*Q = E дает, что столбцы матрицы Q нормированны и попарно ортогональны. •

Отметим свойства унитарных матриц, аналогичные свойствам ортогональных матриц.

§71

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ МАТРИЦЫ

141

1. Унитарность Q влечет унитарность Q-1. Действительно, Q-1 — Q*, а унитарность Q* следует из равенства Q*Q = Е.

2. Произведение унитарных матриц есть унитарная матрица. Действительно, QiQ2 (QiQ2)* = Q1Q2Q2Q* = QiQ! = Е.

3. Единичная матрица унитарна. Действительно, ЕЕ* = ЕЕ = Е.

Эти свойства означают, что унитарные матрицы образуют группу.

4. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1. Действительно, det QQ* = det Q det Q* = det Q det Q = | det Q |2=

«=1.

§ 7. Характеристический полином матрицы

1. Определение характеристического полинома. Сопоставим квадратной матрице с элементами из поля К матрицу tE — А, элементы которой принадлежат кольцу полиномов K[t]. Матрица tE — А называется характеристической матрицей для А, а ее определитель f(t) = det{tE— А) называется характеристическим полиномом матрицы А.

Если

Гаи ац ... a,„ \

T0 f(t) = P — bit"-1 + b2t"T2 + ... + (—l)nbn с коэффициентами из К. Вычислим bi и Ьп- Заметим, что Ъ\ есть коэффициент гри f-1 в определителе

t — On — ai2 ... — а.\п

— O2I t — «22 • • • — а2П

— — ап2 • •'• ' — Япп

Буква t входит, причем в первой степени, только в диагональные элементы матрицы tE — А. Следовательно, каждое слагаемое определителя, содержащее имеет в числе сомножителей по крайней мере п — 1 диагональных элементов, но тогда и последний сомножитель тоже диагональный. Таким образом, коэффициент прн t"-1 равен коэффициенту при tn~l в полиноме (t — йц)Х Х(< —«22) ... (t — апп), т. е. равен — (ац + о22+ ... +аи„). Таким образом, b\ = ац -f- a22-f ... +а«п. Это выражение имеет специальное название — след матрицы А и обозначается Sp А или Tr А (от Spur — нем., Trace — англ.).
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed