Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
и если Л и С коммутируют, то
det(c д) = det HD —СЯ). Аналогично, записав det-Л правым множителем, получим
det ( с L)) ^ dei(DA - CA-1BA)
ОБРАЩЕНИЕ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
139
и, если А и В коммутируют,
det p) = det(DA-CB).
6. Ортогональные и унитарные матрицы. Вещественная матрица называется ортогональной, если ее обратная совпадает с транспонированной. В формульной записи: P ортогональна, если РРТ = Е,
Запишем это матричное равенство в развернутой форме. Пусть
Тогда
(Pn Pn • ¦ • Pm Pit Р22 ..• Риг Pm Pm ••¦ Рпп
)
ррт=(р?
2I + Р?2 + • • • + р\п Pt iPn + РкгРгг + • • • + Р\пРіп
На главной диагонали матрицы РРТ находятся суммы квадратов элементов строк матрицы Р. На остальных позициях находятся -суммы произведений соответствующих элементов двух различных строк. Поэтому равенство PP1 = Е, характеризующее ортогональ-. иые матрицы, записывается как
п
Z Pu = 1> І==1.....
1-і "
п
Zp</Pft/ = 0. i,k = \,...,n, іфк.
Вещественная строка называется нормированной, если сумма квадратов ее элементов равна 1, и две вещественные строки называются ортогональными, если сумма произведений соответствующих элементов равна нулю. Таким образом, условие РРТ = E равносильно тому, что строки матрицы P нормированны и попарно ортогональны.
Из равенства РРТ = E следует P7P = E, или РТ(РТ)Т = Е. Таким образом, из ортогональности матрицы P следует ортогональность транспонированной с ней матрицы Рт и обратно. Однако развернутая запись равенства РТР = E полностью отлична от -записи РРТ = Е, именно, имеет вид нормированности и попарной ортогональности столбцов матрицы P1 Таким образом, мы
140
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
!гл. iv
получаем нетривиальное обстоятельство;—из нормированности я попарной ортогональности строк матрицы следует нормирован-ность и попарная ортогональность ее столбцов.
Отметим некоторые свойства ортогональных матриц.
1. Ортогональность P влечет ортогональность P-1. Действительно, P-1 = Рт, а ортогональность Рт уже установлена.
2. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.
Действительно, PiP2(РіРг)Т = Р\РгРІРІ = PiEPj = PiPj = E.
3. Единичная матрица ортогональна. Действительно, ЕЕ7 = ЕЕ = Е.
Эти свойства означают, что ортогональные матрицы образуют группу.
4. Определитель ортогональной матрицы равен ±1. Действительно, det РРТ = (det P)2 = detE = 1, откуда det P =
= ±1.
Ортогональные матрицы разбиваются на два класса — собственно ортогональные с определителем 1, и несобственно ортогональные с определителем —1.
В дальнейшем мы увидим различие в геометрическом смысле собственно и несобственно ортогональных матриц.
Среди матриц с комплексными элементами существенную роль играют так называемые унитарные матрицы. Матрица Л*, комплексно сопряженная с транспонированной к А, называется сопряженной с Л, т. е. Л* = Лт, где черточка наверху — зна:к комплексного сопряжения. Матрица Q называется унитарной, если обратная к ней совпадает с сопряженной. Записав равенство QQ* = E в развернутой форме, получим
п п
Z^/?= Z1I?./12== •> —і. •••>«.
я
Z QuQkI = O, i,k=\,...,n, і Фіг. ;=і
Строка из комплексных чисел называется нормированной, если сумма квадратов модулей ее элементов равна 1. Две комплексные строки называются ортогональными, если сумма произведений элементов одной строки на числа, сопряженные с соответствующими элементами второй строки, равна 0.
Таким образом, равенство QQ* = E обозначает, что строки матрицы Q нормированны и попарно ортогональны. Равносильное равенство Q*Q = E дает, что столбцы матрицы Q нормированны и попарно ортогональны. •
Отметим свойства унитарных матриц, аналогичные свойствам ортогональных матриц.
§71
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ МАТРИЦЫ
141
1. Унитарность Q влечет унитарность Q-1. Действительно, Q-1 — Q*, а унитарность Q* следует из равенства Q*Q = Е.
2. Произведение унитарных матриц есть унитарная матрица. Действительно, QiQ2 (QiQ2)* = Q1Q2Q2Q* = QiQ! = Е.
3. Единичная матрица унитарна. Действительно, ЕЕ* = ЕЕ = Е.
Эти свойства означают, что унитарные матрицы образуют группу.
4. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1. Действительно, det QQ* = det Q det Q* = det Q det Q = | det Q |2=
«=1.
§ 7. Характеристический полином матрицы
1. Определение характеристического полинома. Сопоставим квадратной матрице с элементами из поля К матрицу tE — А, элементы которой принадлежат кольцу полиномов K[t]. Матрица tE — А называется характеристической матрицей для А, а ее определитель f(t) = det{tE— А) называется характеристическим полиномом матрицы А.
Если
Гаи ац ... a,„ \
T0 f(t) = P — bit"-1 + b2t"T2 + ... + (—l)nbn с коэффициентами из К. Вычислим bi и Ьп- Заметим, что Ъ\ есть коэффициент гри f-1 в определителе
t — On — ai2 ... — а.\п
— O2I t — «22 • • • — а2П
— — ап2 • •'• ' — Япп
Буква t входит, причем в первой степени, только в диагональные элементы матрицы tE — А. Следовательно, каждое слагаемое определителя, содержащее имеет в числе сомножителей по крайней мере п — 1 диагональных элементов, но тогда и последний сомножитель тоже диагональный. Таким образом, коэффициент прн t"-1 равен коэффициенту при tn~l в полиноме (t — йц)Х Х(< —«22) ... (t — апп), т. е. равен — (ац + о22+ ... +аи„). Таким образом, b\ = ац -f- a22-f ... +а«п. Это выражение имеет специальное название — след матрицы А и обозначается Sp А или Tr А (от Spur — нем., Trace — англ.).