Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
det Ак = det Oft = det Dft-, • dk,
det A.
откуда dk= del^_[ #0.
Теорема 5 доказана полностью.
Теперь легко доказать теорему 4. Пусть А — невырожденная матрица квадратичной формы, допускающей унитреугольное преобразование к канонической форме. Тогда A = R7DR, где R — правая унитреугольная матрица, R7— левая унитреугольная. В силу теоремы 5, в части необходимости все определители верхних угловых субматриц отличны от нуля.
Обратно, если все такие определители отличны от нуля, то A = LDR (в прежних обозначениях). Но А симметрична, так что A = A7 = R1DL1. В силу однозначности разложения должно быть L1 = R, т. е. А = R7DR, что обозначает, что квадратичная форма приводится к каноническому виду посредством линейного преобразования переменных с правой унитреугольной матрицей R.
§ 2. Закон инерции квадратичных форм
3 этом и следующем параграфах речь будет идти только о квадратичных формах с вещественными коэффициентами й о линейных подстановках переменных с вещественными коэффициентами.
1. Положительно определенные квадратичные формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Примером положительно определенной формы от переменных Xi, хг, х„ может служить форма х\ + х\ + ... + х\.
Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением нулевого значения при нулевых значениях переменных.
Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.
Так форма х\ — 2X1X2 + лг| == (ж, — дс2)2 положительно полуопределена. Форма Х[ -f- X2 как форма от двух переменных х\ и х2 Положительно определена, но как форма от трех переменных х\, х2, хз лишь полуопределена.
Квадратичные формы, принимающие, как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.
«2]
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
153
Для п = 1 ненулевая квадратичная форма ах2 либо положительно определена (при а>0), либо отрицательно определена (при а<сО). Неопределенные формы появляются, начиная с п = 2.
Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы после приведения ее к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных были положительны.
Доказательство. Пусть форма f(xx, х2, х„) преобразуется в каноническую aiy2 + а2у2 + ... посредством линейной подстановки с невырожденной матрицей: х\ = Ьххух + ЬХ2у2 + ... + &!„{/„, X2 = bnyx + b22y2 + ... + b2nyn,
Xn = bnXyx + bn2y2 + ... + bnnyn.
Эта подстановка обратима:
У\ = спх\ + C12-K2 + ••• + с\пхп> У2 = C21Xx + C22X2 + ... -|- C2n-Vn,
9п = сп\Х\ + сп 2х2 + ... -f- сппхп.
Если Ot1 > 0, Ot2 > 0, ..., ап > 0, то неравенство аху2 + а2г/^ + -+ ... +апу2п < 0 невозможно, а равенство а,//*-+ а2у\+ ... +апуп=0 возможно только при у\=у2 = ••¦ — г/п = 0 и, следовательно,
При Xx=X2= ... = JCn = O.
Если а; 0, то, взяв г//= 0 при \фі и г/< = ], мы можем найти соответствующие значения Jc*, х\ переменных л'ь Jc2, ... JCn, причем они не будут равны нулю одновременно. Тогда \{х\, JC*, .... лг;) = аг<0.
Теорема доказана как в части достаточности, так и в части необходимости условия.
Отметим в качестве следствия, что если при некотором преобразовании формы к каноническому виду все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, то и при всяком другом преобразовании коэффициенты канонической формы будут все положительны.
2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.
Теорема 2. Для того чтобы квадратичная форма
f (JC1, JC2, ..., Xn) = апх\ + U12JC1Ar2 + ... + O1nJC1JCn + + O2^2X1+а22л1+ ... +а2пх2хп +
154
квадратичные формы
(гл V
была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий
Ai=OH > О, Д2
*?1 "22
>о,
Uik
>0,
Un
-п2
>о.
Доказательство. Необходимость. Пусть f(x\, х2,... ..., Xn) положительно определена. Тогда существует подстановка X = BY с невырожденной матрицей В, преобразующая форму в
аіу\ + а2#2 + • • • + апуі ПРИ «і > 0. «2 > 0.....а„ > 0. Тогда
ВТАВ = diag(ab a2, .... a„)
и det ?T AB = a,a2 ... a„ > 0. Ho det SMS = det ?T det A det ? = = det Л (det ?)2. Следовательно, det Л = A„ > 0. Теперь рассмотрим часть формы f(xi, хг.....Xn)
f (•^i» х2, .. •, Xt) = f (•S1, • ¦ •, Xj1, 0, ..., 0) = ~а{1х2у-\- ... -f~ я^х^-f-
Эта форма, рассматриваемая как форма от леї, .... х*, положительно определена, ибо ее значения при не равных одновременно нулю xlt Xk суть значения формы f{xi, .... Xk, Xn) при не равных одновременно нулю значениях для Xi, х*, .... Xn. Поэтому
Uk
п—1.
>0, k= 1, 2,
*ftl ••• *Ч*
Достаточность. Пусть Д* > 0 при k=\, 2.....п. Тогда
форма f(xi, х2) ..., Xn) может быть преобразована к каноническому виду посредством преобразования переменных с верхней унитреугольной матрицей и, как мы видели выше, каноническая форма будет равна
