Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
С
•2 _
,4 0 0 0,
0 4 0 0
0 0 4 0
,0 0 0 4,
так что (det Cf = 256.
Этот пример несколько искусственный, но он есть частный случай более общей ситуации — группового определителя конечной абе-левой группы.
Подчеркнем еще раз важность того, что det C=^=O. Если за этим не проследить, можно получить неверный результат. Например, для той же матрицы А возьмем в качестве вспомогательной
1 1
Тогда
CA = I
¦ a + b + с + d a+b+c+d a+b+c+d
. a + 6 + с + d
1 1
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
a + b + с + d a + b + с + d a+b+c+d a+b+c+d
a + b + c + d. a+b+c+d a+b+c+d a + b + c + d,
130
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
detCA = detCdet А = (а + Ъ + с + Oj
1111 1111 till 1111
= {a + b + c + dY det С.
«Сократив» на det С, получим неверный результат:
det A = (a + b + c + d)\
Но на самом деле det С = 0, и сокращение на det С недопустимо. Пример 2. Найти А = det А, где
Ь
а ¦
d
. — d — с
Пример очень похож на предыдущий, но здесь линейное комбинирование строк малополезно. Хорошо возвести А в квадрат:
А2 = det АТЛ =
аг + Ьг +- с2 + d* 0 , О О
О а2 + Ьг + с2 -)- d2 О О
О 0 at + tf + f + d* О
О 0 0 „2 + ftS + С2 + d*
= (a2+b2 + c2 + d2)\
Следовательно, или А = (а3 + о2 + с2 + d2)2, или A = —{а2 + + b2 + с2 + d2)2, или при одних значениях а, Ь, с, d одно, при других — другое. Разберемся в этом вопросе. Мы имеем равенство полиномов от а, Ь, с, d: А2 = (а2 + Ь2 + с2 -f- d2)4, или
(А — (а2 -f Ь2 + с2 + d2)2) (А + (а2 + Ъ2 + с2 + d2)2) = 0.
Но кольцо полиномов есть область целостности. Следовательно, равен нулю один из сомножителей. Равенство нулю второго приводит к • Д = —(а2 + Ъ2 Л-с2-\- d2)2,
что не имеет места при следующих значениях букв: а = 1, Ь = = с = d = 0. Следовательно,
Д = (а2 + Ь2 + с2 + d2)2. '
6. Теорема Бине — Коши. Пусть произведение двух прямоугольных матриц есть матрица квадратная. Это будет в том и только в том случае, когда не только число столбцов первой ма-
дальнейшие свойства определителей
131
трицы равно числу строк второй, но и число строк первой равно числу столбцов второй:
т
В
AB
В этой ситуации имеет место следующая теорема, называемая теоремой Бине — Коши.
Теорема 3. Определитель матрицы AB равен нулю, если т> п, и равен сумме произведений всех миноров т-го порядка матрицы А на соответствующие миноры т-го порядка матрицы В, если m ^ п.
Соответствие миноров понимается здесь в следующем смысле: номера столбцов матрицы А, составляющие минор, совпадают с номерами строк матрицы В, из которых составляется соответствующий минор.
В формульной записи:
det AB= X Лу
Yl<Y2< ••• <Ym
•-Ym3Y1. Y2.
где АУі, у2.....ym — минор матрицы А, составленный из столбцов с
номерами vi, у2.....Vm, и Byv y„ ...,ym — минор матрицы В, составленный ИЗ СТрОК С НОМераМИ Yb V2, Ym-
Теорему Бине — Коши можно доказать аналогично доказательству теоремы об определителе произведения двух квадратных матриц (которая, конечно, есть частный случай теоремы Бине — Коши). Однако при этом пришлось бы воспользоваться теоремой Лапласа в общей формулировке.
Приведем доказательство, основанное на другой идее. Запишем подробно
det ЛЯ =
a\\bi\ + 012621 + - ••+ ащЬщ ... аіхЬцп+аіФіт + • • • + ambnm
Яті&П+отгбгі + - • -+Clmnbn\ ... ат\Ь\гпЛ-атіЬгт-\-.. .-\-атп.Ъпт
Теперь применим свойство линейности определителя к первому столбцу. Получим
ацЬп ...
ainbni ¦¦•
det AB =
ат\Ьц ...
+
amibi.\ • ¦ •
+
amnbn\ - • •
ai—1
аІаЛ,1
132
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
(ГЛ. IV
где у всех определителей столбцы, начиная со второго, такие же, как у det AB в исходной форме. Применим теперь свойство линейности ко вторым столбцам определителей, составляющих эту сумму. Получим
alaifta,l ala2*a22 ¦••
det AB=Y1
araa,*ail ama,ba,2
где индексы cc1 и ос2 пробегают независимо значения 1, 2, п. Здесь у всех определителей столбцы, начиная с третьего, такие же, как в исходной форме у det AB.
Тем же способом продолжаем разложение определителя det AB на сумму определителей, применяя свойство линейности к третьим, ..., т-м столбцам. Получим в результате
det AB--
E
.,о„
ala26a22
ama2*a22
amambamm
где индексы си, a2.....ccm принимают независимо друг от друга
все значения от 1 до п. Здесь всего пт слагаемых. Вынесем из каждого столбца общий множитель. Получим
det А В = Y ^a110a22 . . . Ьап
Ua, "la.
Если т > п, то индексам си, а2, ..., ат будет «настолько тесно», что среди их значений будет находиться хотя бы одна пара равных. Но тогда все определители, входящие в слагаемые det AB, будут равны нулю как имеющие равные столбцы. Поэтому det AB = О при т> п.
Пусть теперь т ^ п. Если среди значений индексов найдется хотя бы одна пара равных, то соответствующее слагаемое равно нулю. Все такие слагаемые можно отбросить и останется сумма, распространенная на попарно различные значения индексов см, cc2, ...', «т. Наборы таких значений могух отличаться как составом значений, так и порядком, если состав один и тот же. Такие наборы носят название размещений. Обозначим через У г, • • ¦, ут набор значений индексов см, сс2, ат, расположенных в порядке возрастания: yi <.yz<. ... < ут, так что при одном и том же составе значения индексов см, а2, ат будут образовывать перестановки элементов Y1, Y2, ..., Ут.
