Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
о, ¦¦ і.
Можно взять Z1 = O, Z2 = г3 = 1/л/2. Далее,
12 2 _„
3 zx ~т "з 22 "з"2з— "»
1 , 1 _п Vi" Z2+ V2 2з~ ' г* + г* + г1=1.
Из первых двух уравнений находим Z2 = —z3, z\ = 4гз. Из условия нормированности 16г| + г| + г| = 1, откуда Z3 =±- 1 Итак, одна из искомых матриц есть
з V2
? 0
1
V2 1
V2
3 V2 1
3 V2 1
3 V2
При выборе второго столбца имелся довольно широкий произвол, третий определен с точностью до множителя ±1.
4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
Теорема 3. Вещественная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с ортогональной матрицей.
Доказательство. Применим метод математической индукции по числу п переменных. При п = 1 нечего доказывать, так что база индукции тривиальна. Допустим, что теорема уже доказана для форм от п— 1 переменных.
Пусть f(xu х2, х„)= X1AX, где X = (хи х2,...,хп)т, (ахх ••• 0I« S
A=I.......I — вещественная симметричная матрица. Пусть
Xi=(Pu, Р21, Pm) — нормированный собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Xi. Примем Xx за первый столбец ортогональной матрицы:
(pi\ pi2 •¦¦ ры \
p-U рш ¦¦¦ ръг I
P =
'pnx
''22 Рп2
S 3] ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 161
Покажем, что преобразование с этой матрицей «улучшает» матрицу квадратичной формы. Матрица преобразованной формы есть P7AP. Имеем
AP-.
a2lpll + a22pil + ¦¦¦ + hnpnx
If пі
>anlpn + an2p21 + ¦•¦+аппрп\
ибо в первом столбце находится столбец AXi = XiXi. Далее,
•PlI Ряі ¦¦¦ p пі \ /Vn
P1AP =
ірпх
x1(p2H +ріі+ ¦¦¦+pn)
xi ...
хі(рі2рц +р22р2і+ ¦¦¦ + рп2рпі) ••¦
O ...
ki(plnpli + p2np2l+ ••• +pnnpnl) ••¦
O ...
ибо столбцы матрицы P ортогональны и нормированны. Матрица
P7AP симметрична, поэтому имеет виді
22
2п
I, где B=
(ь22 •¦¦ Ь2п \
\ь_п ... *> )
\и о. ... J? /
п2 пп
'22 "2л \
•симметричная матрица. Рассмотрим квадра-
'«2 • • • Йял ^
тичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что Q7BQ = diag(A2, ...
Xn). Положим Qi = (q q). Ясно, что матрица Qi ортогональна, ибо ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированны в силу ортогональности матрицы Q. Ясно, что
(о' В ) Ql = diag О» • • •. К) и QjP7APQ1 = diag (X1, X2,... Xn).
Теорема доказана, ибо PQi есть ортогональная матрица как произведение двух ортогональных.
5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. Пусть А—данная квадратная матрица и С — невырожденная матрица. Матрица CH Л С называется подобной матрице А и переход от Л к C-1AC называется преобразованием подобия посредством С. Отношение подобия симметрично, ибо A = C(C-1AC)C-1, и транзитивно, т. е.
162
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
(гл. v
если две матрицы подобны третьей, то они подобны. Действительно, пусть O1=Cf1ZlC1 и B2 = C2-1AC2. Тогда
B2 = C2-1C1B1C71C2 = (C1-1C2)^B(C171C2).
Покажем, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены. Действительно,
det (tE — C-1AC) = det (С-ЧЕС — C-1A С) =
= det С-1 (tE — A)C = det С-1 det (tE — A) det С =
= det (tE — Л) det (C-1C) = det (*? — А).
Вернемся к ортогональному преобразованию квадратичных форм. Равенство P1AP = diag(Xb X2, Xn) можно переписать в виде P-1AP = diag(A,i, X2, Xn), ибо матрица P ортогональна, так что матрица А подобна диагональной матрице diag(X-i, X2, ... ...,%„)¦ Поэтому их характеристические многочлены равны. Ясно, что характеристический многочлен диагональной матрицы diag(*,i, X2, Xn) равен (t — Xx) (t — X2) ... (t — Xn). Итак, (t — Xi) (t — X2) ... (t — Xn)= det (tE — А). Тем самым мы доказали, что каково бы ни было ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду, коэффициенты'этого канонического вида равны собственным значениям матрицы квадратичной формы, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического полинома.
Равенство P1AP = diag(A,1( X2, Xn) можно записать в виде AP= Pdiag(Ab X2.....Xn). Обозначив через P1, P2, Pn столбцы матрицы Р, получим
A(P1, P2, Pn) = (P1, P2, .... P„)diag(A.,, X2, Xn), откуда
(APu AP2.....APn) = (XxPu X2P2, XnPn)
и APt = XiPi, і= 1, 2, п.
Итак, столбцы преобразующей ортогональной матрицы являются собственными векторами матрицы квадратичной формы. Доказанные обстоятельства существенно помогают фактическому вычислению коэффициентов при квадратах и элементов преобразующей матрицы. Именно, нужно найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Но может получиться одна неприятность: столбцы преобразующей матрицы должны быть ортогональны, а собственные векторы априори ортогональными не обязаны быть. Оказывается, что эта неприятность возникает, только если имеются кратные собственные значения. Именно, верна следующая теорема.
