Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
X* AX ^Y* В* ABY.
Ясно, что матрица В*AB останется эрмитовой, ибо (В* AB)* = В*А*В** = В*АВ.
Отметим, что значения эрмитовой формы при всех комплексных значениях переменных вещественны. Действительно, пусть X — некоторый столбец из комплексных чисел и f = Х*АХ. Тогда J=P= Х*А*X** = Х*АХ = f, так что f вещественно.
Определители эрмитовых матриц тоже вещественны. Действительно, det А = det A = det A* = det А.
Заметим еще, что эрмитова форма с диагональной матрицей имеет вид diXiXi + агХгХг -f .. . + UnXnXn = d\ \ Xx \2 + d2 \ X212 + ... ... +dn|*rt|2 с вещественными di, d2, dn. В частности, эрмитова форма с единичной матрицей есть \xi|2 + \х2\2 + ... +|л;п|2.
2. Свойства эрмитовых форм. Эрмитовы формы обладают свойствами, аналогичными свойствам вещественных квадратичных форм. Доказательства соответствующих теорем тоже почти дословно повторяют аналогичные доказательства для вещественных квадратичных форм. Поэтому мы позволим себе сформулировать эти теоремы, опустив их доказательства.
Теорема 1. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду (с диагональной матрицей) посредством преобразования переменных с невырожденной комплексной матрицей.
Теорема 2. Ранг матрицы эрмитовой формы равен числу ненулевых коэффициентов в канонической форме.
Эрмитова форма (и ее матрица) называется положительно определенной, если все ее значения положительны, кроме значения при нулевых значениях переменных.
Теорема 3. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ее канонической формы были положительны.
Теорема 4. Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду преобразованием с правой унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы левые верхние диагональные миноры A], A2.....An были от-
166
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
[ГЛ. V
личны от нуля. При этом коэффициенты в канонической форме равны Ді, А2/Аь An/An-i.
Теорема 5. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы верхние диагональные миноры Ai, A2, ..., An ее матрицы были все положительны.
Теорема 6. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в канонической форме не зависит от способа приведения к каноническому виду (закон инерции).
Теорема 7. Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.
Теорема 8. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с унитарной матрицей. При этом коэффициенты канонической формы равны собственным значениям матрицы формы, а столбцы преобразующей матрицы равны соответствующим собственным векторам.
Теорема 9. Две эрмитовы формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду.
Теорема 10. Собственные значения матрицы, являющейся произведением двух эрмитовых матриц, одна из которых положительно определенная, все вещественны, и матрица подобна диагональной матрице, составленной из собственных значений.
ГЛАВА VI
ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
§ 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы
1. Делимость в кольце. Пусть Л— коммутативная ассоциативная область целостности (т. е. кольцо без делителей нуля) с единицей. Говорят, что элемент а є А делится на элемент Ь єе А, если существует такой элемент с є Л, что a = be. Говорят также, что а — кратное для b, Ъ — делитель а, Ъ делит а. Из этого определения ясно, что если ai и а2 делятся на о, то ai + а2 делится на Ь. •Далее, если а делится на b и b делится на с, то а делится на с. -Элемент є кольца называется обратимым или единицей, если для него существует обратный є-1 є Л, т. е. такой, что ее-1 == 1. Элементы, отличающиеся обратимым множителем, называются ассоциированными. Ясно, что любой элемент делится на ассоциированные элементы и па единицы. Единицы и ассоциированные элементы считаются неинтересными, тривиальными делителями. Необратимые элементы, не имеющие делителей кроме тривиальных, называются неразложимыми. Теория делимости для данного кольца (или класса колец) заключается в выяснении характера разложения любого элемента кольца в произведение неразложимых. Если такое разложение существует и однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей и замены сомножителей на ассоциированные, то кольцо называется факториальным. , Мы уже имели пример теории делимости для кольца целых чисел. В этом кольце имеются только две единицы ±1, неразложимыми элементами являются простые числа и имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, т. е. кольцо ,целых чисел факториально. Другим уже известным примером факториального кольца может служить кольцо полиномов К[х] над алгебраически замкнутым полем К. В этом кольце неразложимыми элементами являются только полиномы первой степени, которые ассоциированы с линейными двучленами вида х — с. Имеет место однозначное разложение на линейные множители
f(x)= а0(х —Ci)(X-C2) ... (х — сп).
В кольце полиномов К[х] с коэффициентами из произвольного поля К единицами являются все элементы поля К, кроме нуля. Других единиц нет, ибо если fxf2 = 1, f\,f2^K[x], то степени fl 'H /2 не могут быть больше нуля, т. е. fi и f2 — константы из К. Ассоциированными являются полиномы, отличающиеся множите-
