Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Транспонирование матриц. Замена строк матрицы на ее столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием. матрицы. Так, если
. ят\ атг • • ¦ &тп і
то транспонированная с ней матрица
(«и а2\ ... ат\ \ а[2 а22 ••• «m2 J CL\ п О-гп • • - О-тп /
Ясно, что дважды транспонировать — значит вернуться к исходной матрице: (Лт)т = А. Ясно также, что [А -\- В)Т = Лт + ВТ и (сА)Т = сА\
Несколько сложнее дело обстоит с транспонированием произведения. Именно:
Матрица, транспонированная с произведением двух матриц, равна произведению транспонированных, взятых в обратном порядке.
В буквенной записи
(Л5)т — 5ТЛТ,
f Ц МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
А
Положим
АТ = С-
¦ %1 ат2
'C11 C12 С2| Cj2
Omfe -
?T = Z) =
'du du ... dik dzi d22 ... d2fe
¦ cki скг • • • ckm ¦
так что Cj1 = аи, d?a = oa?. Пусть, далее,
. rfftl rffi2
BJAT-
= G =
?11 gl2
4Г2І ?ia
JmI fm!
ft
Т0ГДа ///=Е ^ А/.
а = 1
ff/«
2 djaCai = X baflia
о = 1
а = 1
Zj аіа^а/ — ff/-
o-l
gm ¦ • ¦ gnm
Итак, gy; = /,-/ при всех і = 1, 2, ..., m и /=1, 2, ..., п, а это и значит, что G = T71, т. е. ВТЛТ = (ЛВ)Т, что и требовалось доказать.
5. Обзор действий над матрицами. Над матрицами определены четыре действия: сложение, умножение на элементы основного поля (или кольца), умножение матрицы на матрицу и транспонирование.
Условие применимости и размеры результата поясняются следующими схемами:
А +В: m
+
m
с А:
A3: m
m
Докажем это. Пусть
82
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. JV
Эти действия обладают свойствами:
1. (А + В)+С = А + (В + С).
2. А + В = В + А.
3. Существует 0: Л + 0 = 0 + Л = А
4. Для Л существует —Л: Л + (—Л) = 0.
5. (ci -{-C2)A = сгА-\-с2А.
6. C[A1 + A2)= сАх + сA2.
7. C1 (C2A) = (C1C2) А.
8. X-A = А.
Это — свойства векторного пространства, так что матрицы фиксированных размеров образуют векторное пространство.
9. (AB)C = А(ВС).
10. A(B1 + B7) = AB1 + AB2. И. (A1 +A2)B = A1B+ A2B. 12. (сА)B = А(сВ) = сAB.
13. Существуют единицы, именно, если А —
то
п
BmA = AEn -—¦ А.
14. (A1Y = A.
15. (Л + ?)1 = Лт + Вт.
16. (CAy = CA1.
17. (ЛВ)Т = ВТЛТ.
Для квадратных матриц фиксированного порядка п действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо. Кольцо, наделенное структурой векторного пространства, т. е. система объектов, обладающих свойствами 1—12, называется алгеброй над основным полем. Таким образом, квадратные матрицы с элементами из поля К составляют алгебру над этим полем.
Само поле К изоморфно вкладывается в алгебру квадратных матриц при помоги отображения с>—>сЕ, с є К-
В соответствии с тем, что было изложено в гл. III о значениях полинома, в алгебре квадратных матриц естественным образом определяются степени Ат матрицы с натуральными показателями и значения полиномов, именно, если I(t) = a0tn + U1I"-1 + ... ... +an(=K[t], то f (A) = а0Ап + U1A"-1 + ... + ап-ХА + апЕ. Значения полиномов от одной и той же матрицы коммутируют.
§ 2. Теория определителей
С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам.
IfI
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
83
1. Наводящие соображения. Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
aix+ by = C1,
(1)
а2х + Ь2у = с2.
Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на &2, второго на Ь\ и вычтем. Получим
(аф2— афі)х = сф2— ефи
Теперь первое равенство умножим на —а2, второе на at и сложим. Получим
(аф2 — афх)у = aic2 — a2cu Предположим, что аф2 — «2&1 ?= 0. Тогда
O1O2 — а26| ' * афі — афі ' * '
Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива — либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить X и у из (2) в систему (1). Сделаем это:
С\Ь2 — с2Ь\ . ? AiC2 — а%С\ __ 1 а\Ь2 — а2Ь\ 1 аі&2 — а%Ь\
_ а\С\Ьг — diCjbi 4- а.\Ь\Сг — a26iCi ¦ С| (a\b% — a26i) _
ахЬг — афх ai&2 — a26[ C,t
cibj — c2&i і ^ й|С2 — a2Ci c2(tti&2 — a26|) _
Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства.
Если аф2— a2bi = 0, то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне.
В формулах (2) знаменатель аф2 — афі один и тот же. Числители же очень похожи по форме записи на знаменатель.
Для выражения аф2 — аф\ существует специальное название
определителя матрицы (^ ^ ) и специальное обозначение:
