Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
ац ... а1п
10. Пусть в определителе
л1п
выбрана строка с но-
аП\ • ¦ • а.пп
мером і и даны п чисел Ь\, Ьп. Сумма произведений этих чисел на алгебраические дополнения элементов г'-й строки равна определителю, в матрице которого на месте an.....Uin стоят b\,..., Ъп:
ац ... CLin
Mn +
Действительно,
+ Mi.
ац ¦
.. ахп
6. .
ап) .
• • ьпп
где А'п, А\п — алгебраические дополнения элементов г-й строки этого определителя. Но алгебраические дополнения не зависят от элементов t'-й строки, так что они совпадают с алгебраическими дополнениями Ац, ..., Ain исходного определителя.
11. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (свойство ортогональности строк и алгебраических дополнений). Действительно, пусть дан определитель
ац ... а1п
Un
OnI ••• апп
Тогда, по предыдущему свойству,
а-ыАп +ak2Al2+ ... + aknAin
ац
• • аь„
kn
1M ¦
• а,
kn
ибо получился определитель с двумя одинаковыми строками.
Следующее свойство касается вычисления алгебраических дополнений.
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
99
Минором порядка п — 1 для данного определителя называется определитель матрицы, получающейся из матрицы исходного определителя посредством вычеркивания одной строки и одного столбца. Минор, получающийся вычеркиванием строки и столбца, содержащих uik, обозначается через Д,й.
12. Алгебраическое дополнение Au, отличается от соответствующего минора А,й лишь на множитель (—1)'+* (т. е. Ai k = Ыи пли Am = —А;*, в зависимости от того, четно или нечетно число i-\-k).
При доказательстве рассмотрим два случая. Сначала положим i = k = U
IO ... 0
О аг2 ... а2п
Согласно определению
An= Z
(-1)
О ап2 ...
nv {O1, а2
¦¦•ап)
причем нужно положить ап = 1, aik = 0 при k = 2, п и ап = О при t = 2, 3, п. Поэтому в сумме нужно сохранить только слагаемые при ai = 1 и (а2, а„), пробегающей все перестановки чисел 2, 3, ..., п, причем положить ац = 1. Получаем
^11 = Z <-1Г<'--.a"}%...a„v '
(«2.....«n) 2 П
Ясно, что inv(l, a2, .... an) = inv(a2, a„), ибо 1 на первом месте не образует инверсий с другими элементами. Поэтому
An = Z (-1)
(«2.....ап)
inv (a2
¦ап)
а2г а-пг
LX2n аПП
Для того чтобы установить последнее равенство, достаточно вос-
Й22 • • • а2П
пользоваться определением определителя для
апг
учи-
тывая, что вторые индексы на единицу больше номеров столбцов в этом определителе, так что inv(a2, ап) равно числу инверсий в номерах столбцов. Итак, Ац = Ац. Теперь пусть і и k любые:
Au =
i-u і
i + h 1
¦•• al.k-l
0
al.ft+l •¦
a. in
¦¦¦ ai-\,k-\
... 0
0
1
a,--l,ft+l •••
0
< — 1. n
0
0
ai + l,ft+l •••
J+l. n
••• an,k-l
0
an,k+l ¦¦
. LX
nn
100
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ IV
Переместим 1 в левый верхний угол, сохранив порядок остальных строк и столбцов. С этой целью поменяем местами і-ю строку последовательно со всеми предыдущими, а затем то же сделаем с k-м столбцом. Определитель при этом приобретет множитель (—i)'-!+*-^ так что
Л,4 = (-1)
1¦Vk
1 о
0 Q1
0 а
0 а
0 а
и fc-1
1, ft+1
їй
1-І. 1
і + 1
4-1, ft-1 u/-l,ft+l J<+1, fc-1 Qf+1. ft+1
a
U-U n i+U n
fll
n, ft-1
*n, ft+1
В силу рассмотренного ранее случая і = k = I заключаем, что
^ = (-1)
<+fc
и
'1. ft-1
*1, ft+1
Un
1-І, 1 a<-l, ft-1 "i-1, ft+1 "«-1. я / + 1,1 ••• ai+l, ft-1 o/ + l, ft+1 at+U n
a.
лі
ft-1
a
n, ft+1
nn
=(-1)'
»*ft>
что и требовалось доказать.
6. Вычисление определителей. Для того чтобы вычислить определитель, пользуясь определением этого выражения, нужно вычислить л! произведений п сомножителей, каждое из которых равносильно п—1 попарных умножений чисел. Таким образом, для вычисления определителя этим способом требуется п\(п—1) попарных умножений и много сложений, которых мы не учитываем как значительно менее трудоемкую операцию. Так, при п = 100 число умножений равно 100! 99 > 10153. Никакая самая мощная вычислительная машина не в состоянии справиться с таким числом операций.
Теперь посмотрим, как можно воспользоваться свойствами определителя. Разложение по строке (или по столбцу) показывает, что вычисление определителя порядка п в основном сводится к вычислению п определителей порядка п—1. Но если в строке есть нули, то нужно столько определителей порядка п— 1, сколько имеется отличных от нуля элементов в строке (в столбце). Но при помощи добавления к строкам чисел, пропорциональных другим сцрокам, можно получать нули в столбцах.
Проследим за этим. Пусть нам нужно вычислить определитель
"21 в22 • • • агп
Я»1 О.Щ ••• аПП
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
101
Положим для простоты, ЧТО Uu Ли за знак определителя:
¦ 0. Вынесем из первой строки
1
021
«12
au
022 •
«in «и • • агп
апг .
