Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для матриц одинакового строения, т. е. имеющих одинаковое число строк и столбцов, определяется сложение по правилу: если
т. е. элементами суммы двух матриц является сумма соответствующих элементов слагаемых матриц. Отметим некоторые свойства действий.
1. (А + ?) + С = Л+ (S+ С)—ассоциативность сложения.
2. Л + ? = ? + А — коммутативность сложения.
3. Матрица 0, состоящая из нулей, играет роль нуля: Л + 0 = Л при любой Л.
4. Для любой матрицы Л существует противоположная —А та* кая, что Л + (—A) = O. (В качестве матрицы —Л, очевидно, следует взять матрицу (—1)Л, элементы которой отличаются от элементов А знаком.)
5. (ci + C2) A = CiЛ + с2А.
6. с(Л, + Л2) = сЛі + сЛ2.
7. C1(C2A) = (CiC2)A.
8. 1-Л = Л.
Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле (или в кольце).
Система математических объектов, в которой определено действие сложения и действие умножения на элементы поля К, причем
то
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
75
эти действия обладают свойствами 1—8, называется векторным пространством над полем К.
Таким образом, множество матриц одинакового строения с элементами из данного поля К образует векторное пространство по отношению к определенным выше действиям. В частности, строки данной длины и столбцы данной высоты образуют векторные пространства.
Пусть Au Ат — несколько матриц одинакового строения. Матрица C1Ax + ... -f- cmAm, при Ci є К, называется линейной комбинацией матриц Ay, Am. Нам придется применять этот термин преимущественно к строкам и к столбцам.
Рассмотрим в свете этого понятия систему линейных уравнений общего вида
«11*1 + «12*2 H- ... H- O1nXn = Ьи «21*1 H- «22*2 H- • • • H- «2п*я = ^2»
«ml*l H- «ш2*2 H- • • • H- amnxn — ^m'
введя в рассмотрение столбцы из коэффициентов
Ai =
A9=1
¦ ат\
An =
и столбец из свободных членов В =
Тогда систему можно записать в виде
XiAx H- X2A2 H- ... + XnAn = В,
н ее решение превращается в задачу: даны п столбцов Ax, A2, ... ...,An и столбец В; требуется представить столбец В в виде линейной комбинации Ax, A2, ..., An. Как мы увидим дальше, такая формулировка оказывается полезной.
\у 3. Умножение матриц. Введем теперь действие умножения матрицы на матрицу. Предварительно рассмотрим частный случай: Произведением строки А на столбец В той же длины,
A = {flu «2» •••» «n). B =
¦bn
Л
J
76
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
(ГЛ. IV
называется число афі+ а2Ь2-\- ... + апЬп (или элемент кольца, которому принадлежат элементы рассматриваемых матриц).
Для прямоугольных матриц AnB произведение определено, если длины строк первого сомножителя А равны длинам столбцов второго сомножителя В, т. е. если число столбцов А равно числу строк В. Именно, произведение AB матриц А и В составляется из произведений строк А на столбцы В, при их естественном расположении в матрицу. Точнее: произведением AB матрицы А на матрицу В, где
в!2
а22
auk
В
a-ink
/Ьп
3*2
называется матрица С, элемент ci; г'-й строки и /-го столбца которой равен произведению і-й строки А на /-Й столбец В, т. е. равен сумме произведений элементов і-й строки матрицы А на элементы /-го столбца матрицы В. Таким образом,
k
Cij = anbu + ai2b2!+ ... +«<A/=Z aiaba!.
a=i
Рассмотрим примеры: 'З
1. (1, 2)(2) = 1-3 + 2-4 = 11.
2.(1 J)(I
1-2 + 2-34 / 3-2 + 4-3 ) \ 1-2 + 2
2 + 3
11
23
14W 7
¦4j U4
)-
1+2-5 1+4-5
( 1 2Wl 24/1-1 + 2-3 л> U зДз 4j 45-1 + 3-3 5-
Последние два примера поучительны тем, что в них рассматриваются произведения одинаковых сомножителей, но в разных порядках. Результаты получились различными. Следовательно, свойство коммутативности при умножении даже квадратных матриц не имеет места.
Условие, когда произведение матриц определено, а также размеры произведения двух матриц удобно изобразить при помощи схематического рисунка:
к =
AB
Ясно, что если определены произведения AB и BA, то число строк А равно числу столбцов В и число строк В — числу столбцов А. Оба произведения AB и BA будут квадратными матрицами, но разных размеров, если А и В не квадратные. Если А и В
«11
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
77
квадратные, то AB не обязано равняться BA, как мы только что видели на примере. Матрицы А и В, для которых AB = BA, называются коммутирующими. Например, матрицы A = (^ 4) и
В = ( g g ) коммутируют, ибо = = ( 24 35 ) •
Это определение умножения матриц на первый взгляд не кажется естественным. Оно становится совершенно естественным, если связать матрицы с линейными подстановками переменных.
Пусть Л и В — матрицы указанного выше вида. Рассмотрим линейные подстановки переменных с этими матрицами, заметив, что число старых переменных в первой подстановке равно числу новых во второй, что дает основание обозначить их одинаковыми буквами:
У\ —011*1 +#12*2 + ••• + 0-\kXk> У2 =а2\Х\ +#22*2 + ••• +02?-?.
И
Уш — аяг1*1 ~Ь аш2Х2 + ••• + amkxk
