Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 2. Любая транспозиция изменяет четность перестановки на противоположную.
Действительно, любая транспозиция равносильна нечетному числу транспозиций соседних элементов.
Предложение 4. Число четных перестановок п элементов равно числу нечетных перестановок.
Доказательство. Пусть число четных перестановок равно в, число нечетных равно Ь. Рассмотрим множество всех четных перестановок. Сделаем в них одну и ту же транспозицию, например, (1, 2). Мы получим нечетные перестановки, попарно различные, в количестве а штук. Так как число всех нечетных перестановок равно Ъ, заключаем, что a ^ Ъ. Теперь рассмотрим множество всех нечетных перестановок и сделаем в них транспозицию (1, 2). Мы получим Ь четных перестановок и, следовательно, Ь ^a. Из установленных неравенств следует, что а = Ъ, что и требовалось доказать.
Попутно мы получили, что если во всех четных перестановках сделать одну и ту же транспозицию, то мы получили все нечетные перестановки.
Предложение 5. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.
Доказательство. Применим индукцию. Для п = 2 утверждение тривиально. Пусть п > 2 и для перестановок п — 1 элемента предложение доказано. Пусть (аи а2, OLn) и (?b ?2, ?„) — две данные перестановки. Если ?i = cxb то (а2,.. .,Un) и (?2,..., ?„) отличаются только порядком и, в силу индукционного предположения, посредством нескольких транспозиций можно перейти от
(а2.....ап) к (?2, ..., ?„) и, следовательно, от (схь а2, OLn)
к (?i, ?2.....?tt). Пусть теперь \Ъ\фах. Тогда ?i = a* при некотором іФ 1. Сделав в («і, OL2.....OLn) транспозицию (схь а,-), мы
придем к новой перестановке, у которой на первом месте находится а,- =-?i. В силу доказанного эта перестановка превращается в ?i, ?2, .. ¦, ?n посредством нескольких транспозиций. Следовательно, ОТ (ai, OL2, OLn) К (?i, ?2, ?„) МОЖНО ПереЙТИ ПО-
средством нескольких транспозиций, что и требовалось доказать.
В терминах подстановок предложение можно переформулировать так: любая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций.
Переход от одной перестановки к другой посредством транспозиций совершенно не однозначен. Однако в силу предложения 3
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[гл. iv
четность или нечетность числа транспозиций для такого перехода инвариантна. Именно, для перехода от перестановки к другой перестановке той же четности число транспозиций обязательно четное, ибо каждая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную. Аналогично, для перехода от перестановки к другой перестановке противоположной четности требуется нечетное число транспозиций.
3. Определитель порядка п. Определение. В п. 1 была дана предварительная формулировка для определителя. В ней не хватало правила расстановки знаков слагаемых, но было указано, что это правило должно быть связано с разбиением перестановок на два класса. В п. 2 было описано разбиение перестановок на два класса — четных и нечетных перестановок. Это разбиение и положим в основу правила расстановки знаков в определителе. Таким образом, приходим к следующей полной формулировке.
Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая •сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным — со знаком «минус».
Легко проследить, что расстановка знаков в определителях второго и третьего порядков соответствует сформулированному правилу.
Настоятельно рекомендую читателю не пожалеть времени и выписать в развернутой форме определитель четвертого порядка. В символической записи определитель можно записать так:
«и а{г ¦•• «in а%х а%% ... ain
OfIl я«2 • • • <*пп
vlnv(ai' «і.....«n).
= Yj (~~ ^«
!а,"2а2 • ' • ипап'
где (ai,a2, .... et«) пробегает все перестановки чисел 1, 2, щ
далее, множитель (—1) равен +1, если (см, аг, ...
ct„) — четная перестановка, и равен —1, если нечетная.
Ясно, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца и, в частности, из любого поля.
4. Свойства определителя.
1. Общее правило знаков. Для дальнейшего будет полезно узнавать, с каким знаком входит в определитель an aI2 ... ei«
a2i a22 ... агп слагаемое я„ я ап „ ... а„ , где (аь а2.....а„)
.......• u| Pl а2Р2 Л1 Я
<*П! О.ПІ ¦ ¦ • В-ПП
й (?i, ?2, .... ?n) —две перестановки чисел 1, 2, п. Для того
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
91
йтобы узнать это, следует расположить сомножители в порядке следования строк. Заметим, что если поменять местами два сомножителя, то происходит транспозиция как в первых, так и во вторых индексах, так что число инверсий в первых индексах и число инверсий во вторых индексах меняются на нечетные числа, и потому их сумма меняется на четное число. Поэтому
