Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
аи .
• ¦ «in
•• din
ап .
•• atn
и А' =
ак\ ¦
• акп
aki ¦
• аы
ai\ •
¦ ain
"пі •
• • О-пп
Яці .
• • о,пп
Kk.
Возьмем какое-либо слагаемое из второго определителя, записанное в порядке следования его строк:
ко..
. , inv(a,, ..
Оно входит в состав Д с множителем (—1) Но а
ка.
• Я„„ = а.„ пап Ia1
что в А оно входит с множителем (—1)
ai.....«я) _
»'Oj * ' ¦ ка inv (O1
і
r(ai.....af
так a«),
,. inv fa,, .... afr, .... a,.....»„, , .,
Ясно,что(-І) {' k 1 "' = -(-1) так что каждое слагаемое из А' входит в А с противоположным знаком, т. е. А' = —А.
Теперь для" доказательства свойства 5 рассмотрим определитель с двумя одинаковыми строками и переменим местами эти строки. С одной стороны, он при этом изменит знак, но вместе с тем он не изменится. Следовательно, А = —А, 2А = О и А = 0.
Однако это рассуждение применимо, только если в кольце возможно деление на 2, так что из 2A = O следует А = 0. В поле
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
95
fbi4eTOB по модулю 2 мы не могли бы сделать такого вывода. I этом состоит небольшой недостаток второго доказательства сравнительно с первым.
7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.
Действительно, если, согласно свойству 4, вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности, то остается определитель с равными строками, который равен нулю.
8. Определитель не меняется, если к какой-либо его строке добавить числа, пропорциональные другой строке.
Действительно,
ап
am
аи .
¦ din
¦ "in
an + makl .
¦ ain + makn
ап ¦
¦¦ aln
makl .
• makn
+
ak\
ak\ ¦
¦ ahn
ak\ ¦
¦ akn
«пі
аПп
an\ ¦
• • ann
anl .
* ann
an .
.. aln
an .
. a,
In
akl ¦
. a.
kn
an\ ¦
• • ann
Свойство 8 особенно важно, так как оно дает ключ к вычислению определителей.
Рассмотрим небольшой пример.
Пусть требуется вычислить определитель
1111 1 1-1-1 1-1 1 -1 • 1-1-1 1
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на —1, затем к третьей прибавим первую, умноженную на —1, и затем к четвертой прибавим первую, умноженную на —1. Получим равный определитель
1111
о 0 — 2 — 2 0—2 0 —2 ' 0—2 —2 0
еперь прибавим к четвертой строке третью, умноженную на —1, к четвертой —- вторую, умноженную на —1. Получим равный
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Ц\Л. tv
определитель
1 1
О о
О -2
О О
1
—2 -2 4
Теперь оказывается, что из 24 слагаемых определителя отлично от нуля только одно: аца2заз2а44 = 1 • (—2)-(—2)-4=16. Перестановка (1, 3, 2, 4) нечетная, следовательно, определитель равен —16.
5. Алгебраические дополнения и миноры. Пусть дан определитель
.....а,
1Ih ¦¦
'In
Рассмотрим определитель
ап ... О ... аш
О ... 1 ... О
ал1 ... О ... апп
матрица которого получается из матрицы исходного определителя посредством замены элемента а<* на 1 и всех остальных элементов і-й строки и k-ro столбца на нули.
Так построенный определитель называется алгебраическим дополнением элемента аік. Для него принято обозначение Aik. Заметим, что А1к не зависит от элементов і-й строки и /г-го столбца исходного определителя.
9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.
Для доказательства запишем данный определитель в виде
11 • •
¦ alk ••
in
п ••
• aik ¦¦
. а, in
«1 •
¦ ank ¦¦ ап
. а
пп
a\k
а1\
f 0+ ..
. +0
... 0+ .
nk
. +0 .
¦ 0 + 0+ ... +aia
где каждый элемент і-й строки имеет п слагаемых. Теперь воспользуемся свойством линейности. Определитель равен сумме
#2]
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
97
следующих п определителей:
*\к
*nl
"пк
+
+
Чк
+
.. а
пп
«I!
... alk .
• aln
+
0
... 0 .
• aln
ап\
••• ank ¦
.. a
пп
В каждом из них вынесем в качестве множителя ненулевой элемент і-й строки:
.. а
Ik
'In
.. О
лп1
"nk
О
+
aik ••• аы і ... о
+
... +ain
-и ••• a\k О ... о
In
а
nk
Теперь вычтем из первой строки первого определителя і-ю, умноженную на а\\, из второй — ню, умноженную на a2i, из п-н вычтем і-ю, умноженную на ап\. Все элементы не изменятся, кроме элементов первого столбца, которые заменятся на нули. Поэтому первый определитель равен о
а
Ik
In
1 ... О О ... а
nk
О a
Аналогично, остальные определители равны соответствующим алгебраическим дополнениям, так что действительно
1H •
¦ a\k •
• аы
ІІ •
¦ aik ¦
¦ ain
= апАп + .
• +aikAik+ ..
• +ЪпАп
п\ ¦
nk
. а
пп
Это свойство носит название разложения определителя по элементам строки. Разумеется, существуют аналогичные разложения fco элементам столбцов.
98
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ІГЛ. IV
Следующие два свойства являются непосредственными следствиями из разложения по элементам строки.
