Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
. lnv(a., а,.....a)+inv(?,,B2.....?„)
(— 1) v 1 п' не изменяется при перемене
мест двух сомножителей, а следовательно, и при любом изменений порядка сомножителей, ибо любое изменение порядка равносильно нескольким попарным переменам мест. Отсюда
Следует, ЧТО Знак, С КОТОрЫМ ВХОДИТ Слагаемое Oa1P1 ^u2P2 • • • «a„?„
inv (a., a2, .... a )+inv (?,, ?2.....P) ДеЙСТВИ-
B определитель, есть (—1) -и-еи,-1ВИ
тельно, пусть 7ь Ys1 . .. , Уп — последовательность номеров столбцов после приведения сомножителей в порядок следования строк, так что aai?aet?, ... аа^ = a, ^ ... a„v Тогда
(_l)inV(a1, °S0«) + lnV(PV ?2-
= (_l)inV(1, 2«>+inv(V,. V2.....v«) = (_1)lnv (Vi- Vj.....yn)
а это и есть множитель ±1, с которым интересующее нас слагаемое входит в состав определителя.
2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной. Другими словами — определитель не меняется при транспонировании матрицы.
Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной — это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое а« л о,„ R ... an о входит в состав определителя исходной ма-
a,p, а2р2 апРп
трицы и определителя транспонированной с одним и тем же мно-жителем (-If <-•¦¦a«)+inv(?l'**Ч
Установленные два свойства указывают, что в определителе строки и столбцы совершенно равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов.
Следующие два свойства означают линейность определителя относительно элементов любой его строки.
3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором — вторым.
92
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
Это свойство становится прозрачнее, если от словесной формулировки перейти к формуле: ац ... ain
ЬП + еП ••• bln + Cin
ani • ¦ • апп
Доказательство.
(ttP a2.....atl)
= s (-if(ai.....a-4a
an •
¦ ¦ ain
an
... aln
bn ¦
¦ bin
+
0H
¦¦• ctn
atu .
... ann
a**»~
+ Z (-if
(ai.....an)
(a,. a3, ....On)
Ia1 ш( na„
ап .
• • am
Ясно, что первая сумма равна
btl .
, а вторая равна
ЯЦ ••• Ol«
. Яш ... апп
Доказанное свойство естественным образом обобщается на случай, когда элементы строки представлены в виде суммы нескольких слагаемых.
4. Если все элементы какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.
• • а1п
au .
ma{l .
¦ main
— m
ап .
in
апХ .
• О.ПП
«ш •
• • О.ПП
Действительно, д== ? (-l),nv<e'"«>
(«I- «2.....ап)
-і» E (-і>:
(о,, O2. ....о„)
та
Ia1
іа* (аі.....ап)
*1а,
: т
а„„ =
аи ... д,„
апі • • • апп
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
93
5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
6. Если в матрице поменять местами две строки, то ее опре-, делитель изменит знак на обратный.
Эти два свойства тесно связаны и играют особо важную роль в теории определителей.
Докажем сначала 5-е свойство, потом 6-е.
Пусть дан определитель с двумя одинаковыми строками:
an .
ап .
. . Clin
•
ak\ •
• а.
RtI
а«і .
. • а-пп (а
(_l)inv(а^••
.....ап)
-«»)
"la, -
.. а.„ ..
• аь„
причем an = ak\, an = ак2.....а1П = ак„.
Разобьем сумму на две части, соответствующие четным и нечетным перестановкам:
A= X а,„ ... а,„ ... аь
(«і.....а«)
четн.
"la,
ш,
2-t д. • •« а.п • • • &1м.
(ai.....ап)
нечетн.
Вспомним, что все нечетные перестановки получаются, если во всех четных перестановках (at, a,-, ак, Otn) сделать одну и ту же транспозицию (а;, ак). Поэтому
Д = Z 4а, ... аш
(«і.....ai.....ак.....ап) 1
четн.
Z
(а1. .....ак- ¦•
каь
Чо,
• akal ' ' ' апап'
Но а
1ч,
*ка и aka = aia . Поэтому для каждого слагаемого
первой суммы найдется равное ему слагаемое во второй, так что Д = О, что и требовалось доказать.ч<
Обратимся теперь к доказательству 6-го свойства, причем позволим себе обозначить переставляемые строки просто I и II, Нам нужно сравнить определители
аи ... аи
an ••• а\п I
II
а
II I
94
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
С этой целью рассмотрим вспомогательный определитель, заведомо равный нулю:
оц ... aln аи ... а1п
О =
Мы два раза воспользовались свойством 3.
Первое и четвертое слагаемые равны нулю. Следовательно, сумма второго и третьего равна нулю, что и требовалось доказать.
Рассмотрим другой путь доказательства свойств 5 и 6. Начнем с шестого. Пусть
