Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторые классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в. Руффини и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок.
§ 3. Полиномы от нескольких букв
1. Определение и основные действия. Пусть дано коммутативное кольцо А с единицей и несколько посторонних для А букв jci, ..., Xт. Одночленом относительно этих букв называется выражение ахк> ... X*™, где аєД k\.....km — целые неотрицательные числа. Показатели k\, k,„ называются степенями одночлена относительно соответствующих букв, а fei + ... + km называется полной степенью или просто степенью одночлена. Для подобных одночленов ax\l ... хк™ и Ьх\х ... х^» определено сложение ахк1 ... хк™ + Ъх\\ ... хк™ = (a + Ь) х*' ... хк™ («приведение подобных членов») и определено умножение одночленов:
ах\х ... х%» ¦ Ьх\' ... x'™=abxki+'i ..,
Многочленом или полиномом называется формальная сумма одночленов, причем порядок слагаемых безразличен.
Максимальная из степеней одночленов, составляющих полином, называется его степенью. Полином, все члены которого имеют одинаковую степень, называется однородным полиномом или формой. Максимальная из степеней относительно какой-нибудь буквы называется степенью полинома относительно этой буквы.
Два полинома считаются равными, если они составлены из одинаковых одночленов. Для полиномов естественным образом определяются действия сложения и умножения. Именно, сумма двух полиномов составлена из объединения всех одночленов, составляющих слагаемые; произведение есть сумма произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго, Полиномы
70
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
[гл. ш
образуют ассоциативное и коммутативное кольцо, обозначаемое
Л Хт].
Ясно, что полином от букв Xu ..., хт можно рассматривать как полином от Х\ с коэффициентами, являющимися полиномами от остальных букв.
Теорема 1. Кольцо полиномов от нескольких букв над областью целостности есть область целостности.
Доказательство. Применяем метод математической индукции по числу букв. База индукции имеется — для полиномов от одной буквы теорема была установлена в п. 2 § 1. Положим теперь, что кольцо полиномов от m — 1 букв есть область целостности. Тогда и кольцо полиномов от m букв есть область целостности, ибо оно есть кольцо полиномов от одной буквы над кольцом полиномов от m—1 букв, которое есть область целостности по индуктивному предположению.
2. Значения полиномов от нескольких букв. Пусть В — ассоциативное коммутативное кольцо (для полиномов от одной переменной коммутативность В была не обязательна), содержащее А, и с единицей, совпадающей с единицей А. Пусть дан полином
F(X1, xm)=Z\.....ktft ... xfre=A[xlt .... хт]
и даны Ь\, Ът^-В. Значением полинома F(xx, хт) в точке (Ь\.....Ьт) (или при х\ = Ь\, Xm = Ът) называется
F(bv..., bm)=Zaki.....ftmfef-
Ясно, что если H (х1( xm) = Fx(xu хт) + F2(X1, ...,хт) и G(xu хт) = Fx(X1, хт)-F2(X1, .... хт), то
Н(ЬХ, .... bm) = Fx(bx, .... bm) + F2(bx, bm)
и
Q(bx, .... bm) = Fx(bx, .... bm)-F2(bx, bm).
3. Теорема о тождестве. Если A — область целостности, содержащая бесконечно много элементов, то верна следующая теорема о тождестве.
Теорема 2. Если два полинома Fx (хх,хт) и F2(Xx,хт) равны тождественно в А (т. е. принимают одинаковые значения при одинаковых наборах значений букв), то они равны формально.
Для доказательства достаточно установить справедливость леммы:
Лемма. Если полином Н(хх, хт)^А[хх, хт] тождественно равен нулю в А (т. е. все его значения равны нулю), то он равен нулю формально.
Действительно, достаточно перейти от многочленов Fi И fj к их разности H = Fx — ^2-
ІЗ]
ПОЛИНОМЫ OT НЕСКОЛЬКИХ БУКВ
71
Доказательство леммы. Мы докажем равносильное лемме предложение: если полином H формально отличен от нуля, то найдутся значения х\, ..., х*т для букв х\, .... хт, при которых H принимает значение, отличное от нуля.
Применим метод математической индукции по числу букв т. При т = 1 теорема была доказана. Пусть т> 1, H (хх, ..., хт)Ф ФО. Запишем Н(х\, Xm) как полином от х\ с коэффициентами из А[х2, ..., хт]:
H(X1, хт) =
^a0(X2, .... хт)х1 + а{(х2, Xn)х»~1+ ... + ап(х2, хт).
Можно считать, что ао(х2, хт)фО. В силу индуктивного предположения для X2, хт найдется набор значенийх2, х*т
такой, что йд = а0 (х*. • • •, х*т) ф 0. Тогда H (X1, х2, ..., X1n) =
