Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
84
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ГГЛ. IV
С помощью обозначений для определителей формулы (2) записываются в виде
У =
Cl
6,1
C2
ы
*||
а2
Ь2\
а,
Cl I
а2
с2|
а\
ь»\
Применяя, например, эти формулы к решению системы
2х — Зі/ = 5, Ъх + Ау = 7,
получим
X =
U
17 '
12 5 3 7
1
17
Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы п уравнений с п неизвестными.
Рассмотрим еще случай п = 3. Пусть дана система
Я|* + Ьху + C1Z = du а2х + b2y + c2z = d2, а3х + Ъгу + c3z = d3.
(3)
Исключим сразу неизвестные у и z. С этой целью умножим первое уравнение на Ь2съ — Ь3с2, второе на b3cx— Ьхс3, третье на Ъ\С2 — Ъ2с\ и сложим. Получим
(U1O2C3 — axb3c2 + a2b3cx — a2bxc3 + a3bxc2 — аф2сх) х + + (Ь\Ь2с3 — bxb3c2 + O2O3C1 — b2bxc3 + Ьфхс2 — b3b2cx) у + + (cxb2c3 — cxb3c2 + c2b3cx — сфхс3 + сфхс2 — сф2сх) z == = dxb2c3 — dxb3c2 -f d2b3cx—d2bxc3 + d3bxc2 — d3b2cx.
Ясно, что коэффициенты при у и z равны нулю.
Коэффициент при X играет здесь такую же роль, как axb2—o2&i для систем второго порядка. Он называется определителем ма-h сі ^
обозначается:
трицы
/ а, Ьх Ci \ I а2 b2 C2 J И \ аз Ьз Сз /
а, а2 а3
Ь, Ьг Ьз
Cl C2
с»
/а, b, сі \ = det I а2 O2 C2 J. \ аз bi Ca /
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
85
В этих обозначениях, если определитель не равен нулю,
*i
Cl
d2
Ь2
C2
d3
&з
C3
а,
bi
Cl
а2
&2
C2
а3
bz
C3
Аналогично,
а.
di
Cl
а2
dt
C2
а3
dz
Сз
а,
bi
Cl
а2
62
C2
а3
bz
C3
аі ?>i di U2 bz di az bz dz
ax bi Ci аг b2 C2 аз b3 сз
Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, у, z в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства.
Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при п = 2 и п = 3 имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка
I п. и
¦ axb2 — а2Ьх
ai bi а2 b2
= CtxO2C3 — axb3c2 + Ct2O3C1 — афхс3 + афхс2 — a3b2cx.
и третьего порядка ai bi Ci а2 62 C2 аз Ьз C3
Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками + и — по правилам j
+ -
п=2
+
86
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения, входящие в определитель со знаками + и -.
Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка п, исходя из формы этих выражений для п = 2 и п = 3.
Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса — номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка п следующим образом:
Определителем квадратной матрицы порядка п (или определителем порядка п) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу.
К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение. В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до п, в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях:
<3ц
022 •
¦ а2п
= ? * flla,a2„2 •
Чп2 ¦
¦ апп
Здесь индексы осі, «2.....ал пробегают все возможные перестановки чисел 1, 2, п. Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому — со знаком «минус».
2. Элементарные сведения теории перестановок. Сейчас мы рассмотрим некоторые простейшие свойства совокупности перестановок п элементов. Переставляемыми элементами мы будем считать числа натурального ряда.
Предложение 1. Число всех перестановок п элементов равно п! = 1-2 ... п.
Доказательство. Применим метод индукции. Для п=1 предложение очевидно. Пусть оно верно для п—1. Совокупность перестановок п элементов разобьем на п частей, по положению элемента п на первом, втором, п-ш месте. В каждой части будет (п— 1)! перестановок, так как их число равно числу расположений элементов 1, 2, ..., п— 1 на п—\ незанятых местах. Следовательно, число перестановок равно п-(п — 1)! = л!, что и требовалось доказать.
