Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
= «о(*2' *mK + fllK •••'Xm)10V'+ ••• + an{XV ••••
при ай ф 0. В силу теоремы для m = 1 найдется х\ є Л такое, что
я (je;, x*m)=a*x;n + aX"~' + ... + < о,
что и требовалось доказать.
4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств.
Теорема 3. Пусть А — область целостности, содержащая бес-,конечно много элементов, и пусть Fi и F2 — два полинома из А [х\, ..'., Xmj, принимающие одинаковые значения F1 (х*, .. ., хш)= ¦^2(*"» •••» х*ш) всюду, где выполнены неравенства Нх(х\, ... .... x'J) Ф 0, .... Hk(x\, ..., х'т)Ф 0, где Ни .... Hk — некоторые отличные от нуля полиномы из А\х\, хт]. Тогда полиномы Fi и F2 равны формально.
Доказательство. Рассмотрим полином (Fi — F2) Hi... Hk. (Он равен нулю при всех наборах переменных, так как там, где Hi Ф 0, ..., НкФ0, обращается в нуль первый множитель. В силу теоремы о тождестве (Fi — F2)Hx ... Нк = 0 (формальное равенство). Но А [х\, хт] есть область целостности и Hi Ф 0, ... .... НкФ0. Следовательно, Fi-F2 = O, т. е. Fi = F2, что и требовалось доказать.
Установленная теорема оказывается полезной в довольно часто встречающейся ситуации, когда равенство значений двух полиномов удается установить в предположении о необращении в нуль одного или нескольких полиномов. В силу доказанной теоремы после установления равенства поставленные ограничения автоматически снимаются.
ГЛАВА IV МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Матрицы и действия над ними
1. Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если в качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.
Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими «адрес» элемента — первый индекс дает номер строки, содержащей элемент, второй — номер столбца. Таким образом, матрица (размеров m X п) записывается в форме
/аи ai2 ... aln я I "л «22 • • • Чгп
ат\ Ят2 • ¦ • атп
Матрицы, составленные из чисел, естественно возникают при рассмотрении систем линейных уравнений
O11X1 + Ai2X2 + ... +01„Xn=^i,
OnIX1-T-OnJX2+ ... + оп„х„ =«« й„.
Входные данные для этой задачи — это множество коэффициентов, естественно составляющих матрицу
/ ап аи ... а1п \ ^an, а„2 ... апп'
и совокупность свободных членов, образующих матрицу J . I,
имеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных, который, как оказывается, удобно пред-
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
те
X1 X2
ставлять тоже в виде матрицы
состоящей из одного
столбца.
Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали, т. е. элементов в позициях (1,1), (2,2), (п,п).
Диагональная матрица D с диагональными элементами d\,d2,... ..., 4п обозначается diag(di, d2, ¦ ¦ ¦, dn)¦
Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы А. Если ai < Ol2 < ... < ak— номера выбранных строк и ?i < < ?2 < ••• <?/ — номера выбранных столбцов, то соответствующая субматрица есть
4?,
4?u
4?,
. %?i %?2 • • • a4h J В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
Матрицы связаны естественным образом с линейной подстанов' кой (линейным преобразованием) переменных. Под этим названием понимается переход от исходной системы переменных JCi1 х2,..., Xn к другой, новой, уи г/г,..., Ут, связанных по формулам!
JZ1=O11X1 -\-аХ2х2 + у2 = U21X1 + а22х2 +
• ~Ь &\пХп>
• -\~а2пХп>
Ут— am\xl + ат2х2 "+" ••• + атпхп-
Линейная подстановка переменных задается посредством матрицы коэффициентов
Za1, а,2 ... ащ I о.г і &гг • ¦ ¦ Q-гп
Среди систем линейных уравнений наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Среди линейных подстановок переменных основную роль играют подстановки, в которых число исходных и новых переменных одинаково. В этих ситуациях матрица коэффициентов оказывается квадратной, т. е. имеющей одинаковое число строк и столбцов; это
74
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ. IV
число называется порядком квадратной матрицы. Вместо того чтобы говорить «матрица, состоящая из одной строки», и «матрица, состоящая из одного столбца», говорят короче: строка, столбец.
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Введем в рассмотрение алгебраические действия над матрицами. Рассматриваем матрицы с элементами из некоторого поля Д'. При этом Две матрицы считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определим произведение элемента с є К на матрицу А =
^для матриц над некоммутативным ассоциативным кольцом следует различать два произведения с А и Ac).
