Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Xl = 6ц*1 +bl2t2 + ... +blntn,
X2 = O2I^l + ^22^2 + • • • + b2ntn,
Xk = bkxtx + bk2t2 + . . . + bkntn.
Покажем, что если эти две подстановки сделать одну за другой, т. е. выразить переменные ух, ут через U, tn, то матрица коэффициентов окажется равной AB.
Действительно, пусть
У\ — с11^1+ ••• + clJn>
Ут ' ^ml^l + • • • + (-тп^п-
Тогда коэффициент сц есть коэффициент при tj в Уі. Выпишем все необходимое для вычисления этого коэффициента:
Уі= апхх + U12X2+ ... +atkxk, Xx= ... +bXjtj+ .... X2 = ... -\-b2jtj-\-
xk — • " + bkjtj + • • • При подстановке x\, x2, xk в yt, мы получим Vt = ац(... +V/+ ...) + ai2(..- +b2jtj+ ...)+ ...
... +aik(... +bk]tj+ ...)-=
= .... + (An^1/ + a/2&2/ + ... + aife6ft/) /y +
78
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ГГЛ. IV
Таким образом,
си = апЬц + ai2b2! + ... + aikbk,,
так что матрица коэффициентов в выражениях уи ут через U, tn действительно равна AB. Итак, последовательному проведению («суперпозиции») двух линейных подстановок соответствует произведение их матриц.
Заметим, что линейную подстановку
У\ =aii*i +?i2*2 + ••• +alkxk,
Уч — 021*1 + #22*2 + • • • + #2fe*b Ут = amlxl + °-т2х2 + • • • + amkxk
можно записать в матричных обозначениях Y = АХ, где
(All O12 ... Oift \ ( х\ \
ап. а:\ г; ^ . х=\ : • «ml Я/П2 • • • Ят* J V * /
Соответственно, подстановка
*1= Vl + M2 + • • • + blntn,
*2 = M^ +^22^2 + ••• ~\-b2ntn, *A = Ml+M2 + ••• + M'«
записывается в виде X = ВТ, где ? —: матрица коэффициентов, T — столбец из tj.
Поэтому суперпозицию этих подстановок можно записать в виде Y = A(BT). Вместе с тем матрица суперпозиции равна AB, и этот факт записывается так: Y-(AB)T. Таким образом, верно следующее соотношение ассоциативности:
A(BT) = (AB)T,
где T — столбец.
Рассмотрим теперь свойства действия умножения матриц:
1. (сА)В = А(сВ) = сАВ.
2. (Ai + A2)B = A1B + A2B.
3. A(Bi + B2) = AB1 + AB2.
Эти свойства непосредственно следуют из того, что элементы произведения выражаются как через элементы А, так и через элементы В в виде линейных однородных полиномов.
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения).
Это свойство трактуется таким образом, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и они равны.
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
79
Пусть (AS) С имеет смысл и пусть т есть число строк матрицы A, k — число ее столбцов. Тогда В имеет k строк, ибо AB имеет смысл. Пусть матрица В имеет / столбцов. Тогда и AB имеет / столбцов, так что для осмысленности (AB) С нужно, чтобы С имела / строк. Итак, для осмысленности (AB)C необходимо и достаточно, чтобы число столбцов матрицы А равнялось числу строк матрицы В, а число столбцов матрицы В равнялось числу строк матрицы С. Аналогично прослеживается, что те же условия необходимы и достаточны для осмысленности A(BC). Остается доказать равенство (AB)C = A(BC). Введем в рассмотрение матрицы F=AB, G=(AB)C, D = BC и H = A(BC), обозначая их элементы соответствующими малыми буквами.
к
Имеем: fa, = Z аіаЬае,; далее,
р a-l р
I I Л
Sn = Z /i?c?/ = Z Z a/A?c?/>
(S = I ? = l a-l I
dal ~ Z ^a?c?/>
к k l
hi = Z aiada, = Z Z a>ArCr/-
a=l a=l ?-1 p P
Мы видим, что gij = ha, ибо эти элементы представлены в виде сумм одинаковых слагаемых, только расположенных в различных порядках.
Равенство (AB)C = A(BC) можно доказать менее вычислительно, воспользовавшись следующим простым замечанием. Пусть P и Q— две матрицы такие, что PQ имеет смысл. Пусть Q1, Q2, ...
Qk — столбцы матрицы Q. Тогда столбцами матрицы PQ являются PQu PQ2, ..., PQk, что непосредственно следует из определения. Это обстоятельство можно записать в виде
P(Qu Q2, ... Qk) = (PQ1, PQ2, PQk).
Обозначим через C1, C2, ..., Ci столбцы матрицы С. Тогда (AB)C = ((AB)C1, (AB)C2, (AB)Ci). Далее, BC = (BC1, BC2, ...,BCi) и А (ВС) = (A (BC1), A (BC2), A (BC1)). Ho1 как было установлено выше, (AB)C1 = A(BCi), (AB) C2 =» *= A(BC2), (AB)Ci = A(BCi), ибо C1, C2, С, —столбцы. Таким образом,
(AB)C = A(BC).
Особую роль при умножении матриц играют единичные матрицы. Это квадратные матрицы, у которых элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0. Обозначать единичные матрицы будем En (если нужно указать порядок) или
80
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[гл. iv
просто Е. Из правила умножения матриц непосредственно следует, что AE = А и EA => А, если произведения определены.
Ясно, что единичной матрице соответствует единичная подста^ новка переменных:
Ух =*ь
Уч = X2,
У п. Xn,
сводящаяся просто к переименованию переменных. На языке подстановок переменных свойства единичных матриц становятся совершенно очевидными.
Отметим еще, что представляют собой субматрицы произведения двух матриц. Пусть
/Си ... сХп \ C = (......J = AB.
CmI • • • стп
Субматрица, образованная строками с номерами щ, а2, ац и столбцами с номерами ?b ?2, ?/, равна произведению субматрицы матрицы Л, составленной из строк он, а2, ..., а*, на субматрицу матрицы В, составленную из столбцов ?i, ?2, ..., ?;. Это непосредственно следует из того, что Co,?;- есть произведение агй строки матрицы А на ?y-й столбец матрицы В.
