Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами
1. Пространство, сопряженное с евклидовым пространством.
Пусть S — евклидово пространство. Любому вектору yeS можно поставить в соответствие линейную функцию Iy є S* со значениями 1у(х) = (х, у). Если уф г, то Іуфіг, ибо равенство (х, и)=» = (х, z) при всех * є S значит, что (х, у — г) = 0 при всех х, что возможно только при у = г. Пусть Х\, Xn — координаты вектора X в ортонормальном базисе. Любая линейная функция от * представляется в виде yiXi + ... + упхп при некоторых у\, уп, т. е. в виде (я, у), где у — вектор с координатами у и уп. Таким образом, между векторами из S и ковекторами из S* имеется естественное взаимно однозначное соответствие у -*-> 1У, Далее, из линейности скалярного произведения по второму аргументу (х, сії/і + с2у2) = с\(х, у\)-\-с2(х, у2) следует, что линейной комбинации векторов соответствует такая же линейная комбинация ковекторов. Таким образом, соответствие у •*-»¦ 1д задает изоморфизм пространства S и сопряженного с ним пространства S*.
2. Пространство, сопряженное с унитарным пространством. Так же, как в евклидовом пространстве, устанавливается взаимно однозначное соответствие между векторами и ковекторами по щ>а-
ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
355
вилу у-*-*-1у, где Iy — линейная функция со значениями 1у(х) = = (х,у). Линейность функции Iy следует из линейности скалярного произведения относительно первого аргумента.
Однако линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ковекторов с сопряженными коэффициентами, в силу свойства (х, С\у\ + с2у2) = с\(х, у\)+ с2(х, у2). Таким образом, между унитарным пространством и его сопряженным имеется инволюционный изоморфизм, с заменой коэффициентов на сопряженные при линейном комбинировании.
§ 4. Операторы в унитарном пространстве
1. Инвариантный флаг для оператора в комплексном пространстве. Пусть S — векторное пространство над полем С; и st— линейный оператор в S.
Предложение 1. Для оператора st, действующего в комплексном пространстве S, существует флаг, составленный из инвариантных подпространств.
Для доказательства достаточно установить, что для каждого Агмерного инвариантного подпространства Pk найдется объемлющее его (&+ 1)-мерное инвариантное подпространство Pk+u Пусть S = SfPk и st — оператор, индуцированный оператором St на 5. Пусть X — собственное значение оператора st и й є= 5 — соответствующий собственный вектор. Пусть и — произвольный вектор из класса й. Тогда stu = Ku (Pk), т. е. stu = Хи-\- z при z є= Pk. Вектор и не принадлежит Pk, ибо й Ф 0. Пусть Pk+i — подпространство, натянутое на базис Pk-и на вектор и. Оно (k-\- 1)-мерно, ибо и ф. Pk. Оно инвариантно. Действительно, х е Pk+i значит, что X = си+ у при у є= Pk- Тогда stx = cstu + sty = сХи + cz -f- stys є= Pk+i, ибо и, zu sty принадлежат Pk+i- Тем самым предложение 1 доказано.
' В любом базисе флага, составленного из инвариантных подпространств, оператор имеет верхнюю треугольную матрицу. Действительно, пусть Uu и2, Un — базис флага, состоящего из
инвариантных подпространств Pi, P2.....Pn- Тогда stm е P1,
т- е. stu\ = Х\Щ. Далее, stu2 є= P2, т. е. stu2 = O12U1 + X2U2, stu3 = = а13щ + а23м2 -f- X3U3 и т. д. Матрица из координатных столбцов векторов StU\, StU2, StUn есть
/ X1 0[2 а.\з • •. Ящ
io %2 0.2$ . . . Л2П
А = \ о О X3 ... а3п
\0 0 0 ... Xn
Диагональные элементы матрицы А суть собственные значения оператора st, ибо характеристический полином матрицы А равен (/ — X1) (t —X2) ... (t — Xn).
856
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
ЇГЛ. XiII
Пусть теперь S — унитарное пространство. В силу теоремы об ортогонализации для любого флага существует ортонормальный . базис. Следовательно, верна следующая теорема Шура:
Теорема 2. Для любого оператора в унитарном пространстве существует ортонормальный базис, в котором оператор имеет верхнюю треугольную матрицу.
Любую квадратную комплексную матрацу можно принять за матрицу линейного оператора по отношению к некоторому орто-нормальному базису. Переход от исходного ортонормального базиса к ортонормальному базису инвариаіга.ого флага влечет пр образование координат с унитарной матрицей. Поэтому теорема Шура имеет следующий эквивалент на языке матриц:
Для любой квадратной комплексной матрицы А существует такая унитарная матрица С, что C-1AC есть верхн.ія треугольная матрица.
Рассмотрим один интересный частный случай. Пусть матрица сама унитарна. Тогда верхняя треугольная матрица C-1AC тоже унитарна и, следовательно, ее строки и столбцы нормированны, т. е. суммы квадратов модулей элементов всех ее строк и столбцов равны 1. Но легко видеть, что верхняя треугольная матрица
с нормированными строками и столбцами диагональна и ее диагональные элементы по модулю равны 1. Действительно, рассматривая сумму квадратов модулей элементов первого столбца, получим |А,і|2=1. Для первой строки теперь получим |A,i|2-f--Ь і «12 і2 Ч- •¦• +1«!«I2= 1, откуда | а12|2+ ... + | а1л|2 = 0 и аі2= ••• =а\п = 0. Теперь обратимся ко второму столбцу и затем второй строке. Получим |л.2|2=1 и а2з = ••• =а2п = 0 и т. д. Таким образом, для унитарных матриц верна следующая
