Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 1. Если вектор V ортогонален всёп векторам унитарного (евклидова) пространства, то он равен нулю.
Действительно, если вектор ортогонален всем векторам пространства, то он ортогонален самому себе, т. е (v, ь) = 0 и ь = 0.
Предложение 2. Попарно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.
Действительно, пусть Vx, v2, Vk — попарно ортогональные ненулевые векторы, так что (vh Vj) = O при ІФ] и (vi, vi) > 0. Пусть Cid + ... + CiV1 -+-...+ CkVk = 0. Тогда (CiC1 + ... -f C1V1+ + ... + CkVk, Vi) = O, откуда d(Vi,Vi) = 0 и, наконец, с, = 0.
Теорема 3 (об ортогонализации). Пусть vi, v2, vk — линейно независимая совокупность векторов в унитарном (или евклидовом) пространстве. Исходя из нее, можно построить от-
350
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. XIIi
личные от нуля попарно ортогональные векторы v\, v2 что
, vk так,
< = + C31O, + C32O21
= + + ад+ ... + с*.
т. е. каждый вектор v\ получается из о,- посредством прибавления линейной комбинации предыдущих векторов vi, ..., vi-i.
Доказательство. Применим индукцию по k, База индукции при & = 1 тривиальна. Пусть теорема доказана для совокупности из k — 1 вектора, и в этом предположении докажем для k.
Будем искать v'k в виде суммы Vn и линейной комбинации уже
ортогональных векторов v\, v'2, v'k_{:
теперь о'й через о*, O1, ..., Oft-L Получим
^ = ^+Vl +
+ ^(02 + C21O1)+ ... + 0*_l(Oft_i +Cft_r, jO, + ... +Cft_,,ft_20ft_2) =
при некоторых Cfti, Cft2, с*,ft_i- Остается показать, что v'k^Q. Но если бы v'k = 0, то векторы оь O2.....Oft_i, Oft были бы линейно зависимы. Теорема доказана.
Процесс ортогонализации можно провести несколько иначе. Сначала построить векторы и2, из, Uk, добавив к о2, Оз, ¦.•, vk подходящие кратные O1 так, чтобы и2, U3.....и* стали бы ортогональны оь Затем построить векторы и'3..., и'к за счет добавления к из..... и* подходящего кратного вектора U2 с тем, чтобы
и3, "ft стали ортогональны к и2. При этом ортогональность O1 сохранится. Процесс продолжается до конца. В итоге векторы
откуда bi определяется однозначно: bt
Oft' v'i) ir'i. v'l) '
Выразим
= ?+ Ca1O1 + Ck2V2+ ... +Cft.ft-l»ft_
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
351
V1, и2, и'3, ... —это те же векторы v\, v'2, v'h, что и в первом процессе. Заметим, что так осуществленный процесс ортогонализа-ции точно воспроизводит процесс преобразования положительно определенной эрмитовой (или квадратичной) формы к каноническому виду.
Дадим еще одну интерпретацию процесса ортогонализации. Последовательность F вложенных подпространств O = P0CrPiC: • • ... er P*_i с: Pk называется флагом, если размерность каждого подпространства на единицу больше размерности предыдущего, так что dim Р,- = і. Базисом флага называется базис пространства Pk, включающий базисы всех подпространств, составляющих флаг, так что если уь V2, Vk — базис флага, то v\ — базис Р\, v\ и V2 — базис P2 и т. д.
Пусть vi, v2, ... , Vk — базис флага F, и пусть
V2 = C21V1 + C22V2,
У3 = С31У1 + C32V2 + C33u3> K^CklVl + Ck2V2 + ••• + CkkVk'
причем Си ф О, C22 Ф 0, ..., Ckk Ф 0.
Тогда о' — ненулевой вектор в P1, V2 принадлежит P2 и не является линейной комбинацией v\ и т. д., v\ принадлежит Pj и не является линейной комбинацией u', v\_x при всех І. Следовательно, v[, v2, v\ линейно независимы и образуют базис Pt, так что о', V2, v'k есть базис флага F. Ясно, что любой базис флага F связан с базисом vx, V2,. ., Vk формулами указанного вида.
Вернемся к теореме об ортогонализации. Примем исходную систему векторов «і, v2, Vk за базис некоторого флага F. Тогда векторы о', v2, ..., v'k после проведения ортогонализации
составят базис того же флага, но составленный из попарно ортогональных векторов. Поэтому теорема об ортогонализации может быть сформулирована следующим образом:
Для любого флага существует ортогональный базис, т. е. базис, состоящий из попарно ортогональных векторов.
6. Ортонормальный базис. Вектор в унитарном (или евклидовом) пространстве называется нормированным, если его длина равна 1. Любой отличный от нуля вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть X ф 0. Тогда (ах, ах) == ай(х, х) =
= I а 12 (х, х). Достаточно взять а таким, что | а \ = —, 1 = —Ц-.
352
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XIII
Так подобранное число а называется нормирующим множителем для вектора х. В унитарном пространстве нормирующий множитель определен с точностью до множителя с модулем, равным 1. В евклидовом пространстве нормирующий множитель определен с точностью до знака.
Ясно, что если векторы ортогональны, то и после их нормирования получатся ортогональные векторы.
Пусть теперь vu V2.....Vn — какой-либо базис унитарного
(или евклидова) пространства. Применив к нему процесс ортого-нализации, придем к ортогональному базису. После нормирования всех базисных векторов придем к базису, составленному из попарно ортогональных и нормированных векторов е\, е%, еп. Такой базис носит название ортонормального. Для ортонормаль-ного базиса выполняются соотношения (ei, е,)=1 и (et, е,) = 0 при і Ф /, так что м'атрица Грама для ортонормального базиса есть единичная матрица.