Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА XIII ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определения и простейшие свойства
1. Скалярное произведение. В обычной геометрии на плоскости и в пространстве существеннейшую роль играют метрические понятия, связанные с измерением. К. ним относятся длина отрезка и угол между прямыми. В векторной терминологии это длина вектора и угол между векторами. Длина вектора не является линейной функцией от вектора и угол между векторами не является линейной функцией от одного из векторов при фиксированном втором. Несмотря на это, из длин двух векторов и угла между ними при помощи действий, далеких от линейности, можно построить так называемое скалярное произведение векторов, являющееся билинейной функцией от векторов, т. е. линейной по каждому из векторов при фиксированном втором. Именно, скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин и косинуса угла между ними. Билинейность почти очевидна на основании определения. Действительно, скалярное произведение векторов хну равно длине вектора х, умноженной на величину ортогональной проекции вектора у на направление вектора х, а проекция линейной комбинации векторов на любое направление равна такой же линейной комбинации проекций. Таким образом, скалярное произведение оказывается линейной функцией от у при фиксированном х и, в силу симметрии, линейной функцией ot X при фиксированном у. Тем самым скалярное произведение векторов с точки зрения алгебры проще длины вектора и угла между векторами. В свою очередь, эти величины просто выражаются через скалярное произведение. Именно, квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя. Косинус угла между векторами равен частному от деления скалярного произведения на произведение длин.
Все сказанное дает основания при введении метрических понятий в теорию многомерных вещественных пространств отталкиваться от понятия скалярного произведения.
Дадим определения.
Скалярным произведением (х, у) векторов вещественного векторного пространства называется функция от векторов х, у с вещественными значениями, удовлетворяющая требованиям:
1) линейности по первому аргументу
(C1X + с2у, г) = Ci(х, z) + с2(у, z);
346
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XIII
2) симметрии
(х, у) = (у, х)\
3) положительной определенности
(х, х) > 0 при X Ф 0.
Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу:
(X, Сху + C2Z) = Ci (х, у) + C2 (х, Z) .
Далее, длиной \х\ вектора х называется л/(х, х). В следующем пункте будет доказано неравенство (х, у)2 ^\х\2-\у\2, которое делает осмысленным определение угла ф, образованного векторами X и у, посредством формулы
Вещественное конечномерное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Бесконечномерное пространство со скалярным произведением называется предгильбертовым. (Оно называется гильбертовым, если обладает свойством полноты как метрическое пространство, т. е. если любая последовательность вложенных замкнутых сфер с безгранично убывающими радиусами имеет общую точку. В функциональном анализе устанавливается, что предгильбертово пространство всегда может быть пополнено до гильбертова.)
В комплексном пространстве тоже вводится скалярное произведение как функция (х, у) от двух векторов х и у с комплексными значениями и удовлетворяющая следующим требованиям:
1) линейности по первому аргументу
(C1X 4- с2у, z) = C1 (х, z) + C2 (у, г);
2) симметрии с переходом к сопряженному
(у, х) = (je, у);
3) положительной определенности
(х, х) > 0 при X Ф 0.
Заметим, что из первых двух требований следует инволюционная (т. е. с переходом к сопряженным в коэффициентах) линейность по второму аргументу:
(х, сху + C2Z) = Cl {х, у) + C2(X1 Z)
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
347
(распространенные в последние годы прилагательные «полулинейная» в смысле «линейная с инволюцией» и тем более «полуторали-нейная» в смысле «билинейная с инволюционной линейностью по второму аргументу» мне представляются малоудачными).
Из условия симметрии уже следует, что (х, х) есть вещественное число, ибо (х, х) = (х, х), условие положительной определенности добавляет к вещественности числа (х, х) еще и положительность.
Так же, как в вещественном случае, (х, х) принимается за квадрат длины вектора х. Понятие угла между векторами в комплексном пространстве не вводится.
Конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим поставленным требованиям, называется унитарным пространством. Бесконечномерные пространства имеют название комплексных предгильбертовых и, в случае полноты,— комплексных гильбертовых пространств.
2. Неравенство Коши. Известное под этим названием (в более конкретной обстановке) неравенство | (х, у)\2^(х, х) (у, у) доказывается для вещественных и для комплексных пространств одним и тем же приемом. Проведем доказательство для комплексного пространства. Если х = 0, неравенство тривиально. Пусть
X ф 0. Введем в рассмотрение вектор г = у —\у' х\ • х. Тогда
