Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 1. Если векторы vi, Vh є= S линейно независимы над С:, го сопряженные векторы д\, v* тоже линейно независимы.
Действительно, если ciui+ ... -hckvk = 0, то d\V\ + ... ... + CkVk = 0, откуда Ci = ...== с* = 0 и, следовательно, Ci = ... ... =ck = 0.
2. Продолжение операторов, действующих в вещественном пространстве, на комплексификацию. Пусть St — оператор, действующий в вещественном векторном пространстве S. Продолжим его на комплексификацию 5 по формуле st(x-{- iy) = Mx + ist у. Покажем, что продолженный оператор останется линейным и над полем Dl То, что он переводит сумму в сумму, очевидно, нужно только убедиться в том, что комплексный множитель можно вынести за знак оператора. Это легко проверяется. Действительно,
si (а + Ы) (х + iy) = si (ах — by + i{bx + ay)) =
== si (ax — by) + isi (bx + ay) == astx — bsty + і(bstx + asty)=
= (a + bi)st(x-{-iy).
Заметим еще, что вектор, сопряженный с siz, при 2 с= S равен siz.
Предложение 2. Пусть z принадлежит комплексификации S вещественного пространства S с оператором st. Пусть <р(() = th + + a\tk-1 + ... + Ok — полином с комплексными коэффициентами, являющийся аннулятором для вектора г. Тогда полином q>(t) = = P + a\tk-1 + ... + ak с сопряженными коэффициентами есть аннулятор для вектора 2.
Действительно, переход к сопряженным в равенстве st*z-\-+ Oi^-'z+ ... -{-akz = 0 дает st"z + aistk-xz + ,,, +akz = Ot что и доказывает предложение.
$ 7] ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД R 343.
slxk_i + islyk_x = axk_i — byk_i + і (bxk_j + ayk_x) + xk + iyk, slxk -f- islyk = axk — byk + і (bxk -f- ayk).
Из доказанного предложения следует, что если г— корневой вектор, соответствующий комплексному собственному значению Я,, то 2 — корневой вектор, соответствующий сопряженному собственному значению Я. Более того, учитывая сохранение линейной независимости при переходе к сопряженным векторам, мы можем заключить, что векторы, сопряженные с каноническим базисом в корневом подпространстве, соответствующем Я, составляют канонический базис в корневом подпространстве, соответствующем л> и каждой «башне» векторов канонического базиса для Я соответствует башня из сопряженных векторов для Я.
3. Каноническая форма оператора в вещественном пространстве. Разобьем пространство S в прямую сумму корневых подпространств для оператора si и затем корневые подпространства— в прямые суммы циклических, натянутых на «башни» канонического базиса. Ясно, что для каждого из вещественных собственных значений канонический базис может быть взят в самом пространстве S, и этим базисам соответствуют вещественные блоки Жордана.
Пусть теперь Я = а + Ы — комплексное собственное значение при ЬфО, Я — сопряженное собственное значение, P — подпространство, натянутое на башню канонического базиса корневого^ подпространства для Я, P — подпространство из сопряженных векторов, входящее прямым слагаемым в корневое подпространство' для Я. Сумма подпространств P -f- P есть прямая сумма, ибо корневые подпространства для различных собственных значений Я и Я пересекаются только по нулевому вектору. Пусть Zi = Х\ + iyi,. Z2 = х2-f- Iy2, Zk=Xk-T- iyк — базис подпространства Р. Тогда Zi, ..., Zk вместе с Zi1 ..., Zk составляют базис подпространства P(BP. Базис (относительно поля С) составят также вещественные веКТОрЫ Xi, Ui, . . . , Xk, Ук, Ибо ВеКТОрЫ Zl, 22, . . . , 2ft, Z\, Z2,...
2k выражаются через них линейно и, обратно, Xi,yi, Xk,yk~ выражаются линейно через Zi,zb Za, zV Вещественное подпространство, натянутое на векторы хі,уі,х2,у2, хк,уи, есть пересечение S и РФ Р. Выясним, как действует оператор si на эту
СОВОКУПНОСТЬ ВеКТОрОВ. ВСПОМНИМ, ЧТО Z2 = (Sl- — Я^)2], Z3 =
= (St-Kg)Z2.....Zk = (si — KS)Zk-i и (si — KS)zk = 0. Перепишем эти соотношения в форме: Slzi = Ягі + z2, slz2 = Яг2 + z3, ...
..., slzk-i = Kzk-i + г*, slzk = Kzk.-Подставив Я = a -f- bi и Z/ = x; -f- iyi, получим:
slxi + IsIyx = axi — byi + і (bxt + ayx) + x2 + iy2, slx2 + Шу2 = ax2 — by2 + і (bx2 + ay2) + X3 + iy3,
344
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГГЛ. ХП
Отделив вещественные и мнимые части в этих равенствах, получим:
s4-xx = ахх — Ъух + х2, M-Ijx = Ъхх + аух + у2,
slxk_x = ахк_х — byk_x + хк, &Ук-\ = Ьхк_х + аук_х + ук,
stxk = ахк — Ъук,
^У и = bxk + аук.
Таким образом, в рассматриваемом базисе оператору si- соответ-
ствует матрица
ab 00...... 0 0
— b а 00...... 00
10 ab...... 00
0 1 —ft а...... 0 0
00 10...... 00.
00 01...... 00
0 0 0 0 ... 1 0 ab 0 0 0 0 ... 0 1 — 6 а
Обозначив диагональные блоки (_ ? через Я и единичную
матрицу второго порядка через Е, получим блочно-жорданову форму
/К 0 .... On E I .... 0 0 Я.... 0
Vo 0 ... E I S
Мы рассмотрели одну пару сопряженных башен. Так же можно рассуждать для всех остальных, так что часть канонической матрицы, соответствующей комплексно-сопряженным парам собственных значений, есть квазидиагональная матрица, составленная из блочно-жордановых матриц указанного вида. Вещественным же собственным значениям соответствуют обычные жорда-новы блоки.
