Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
\Х) X)
(г, х) = (у, х)--\^Гх\ ' (*• х) = 0 и, следовательно, (z, г) =
= <*. я - Ш <*• *> - ^ я - <». у) - iy'l'x)'у} =
= {Х' ^ VV^' У)? ¦ Н° (г'г) >0 и ^*»0- Седова-тельно,
(х, х) (у, у)-\(х, у)\2>0.
Неравенство доказано.
3. Примеры. Простейшими примерами евклидова и унитарного пространства являются арифметические пространства, т. е. пространства столбцов х = (х\, X2, Xn)т с вещественными элементами в евклидовом случае и с комплексными в унитарном, при скалярном произведении (л:, у) = х\у\ 4- х2у2 4- ... + хпуп и, соответственно, х\У\ -f- х2у2 4-...4- хпуп.
Неравенство Коши для арифметического унитарного пространства имеет вид
\ X1Ij1+ х2у2+ ... +хпуп\2^
<(К12 + Ы2+ ••¦ +Ы2)(к.Р + Ы2+ ... +\УпП
Оно было установлено еще в гл. IV в качестве примера на применение теоремы Бине — Коши.
348
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XIlI
Примером предгильбертова пространства может служить пространство бесконечных последовательностей комплексных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых компонент. Скалярное произведение х =_(хи х2, ...) и у = (уи у2, ...) определяется как (х, у) = xiyi + х2у2 + ... Эта сумма имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых. Для того чтобы пополнить это пространство до гильбертова, нужно присоединить бесконечные -последовательности х = (хі, х2, ...) со сходящимися рядами из квадратов модулей. Если X и у — две такие последовательности, то применив неравенство Коши к отрезкам ряда xxyi + х2у2-\-легко получим, что этот ряд абсолютно сходится. Его сумму и нужно принять за скалярное произведение. Так построенное пространство обозначается I2.
Еще один важный пример предгильбертова пространства дают комплекснозначные непрерывные на данном промежутке [а, Ь],
ь
функции со скалярным произведением (/, g) = ^ f (t) g (t) dt. При-
а
менение неравенства Коши в этой ситуации дает интегральное неравенство
\f(t)gT)dt <\\f(t)\2dt-\\g(t)fdt.
а а а
Для пополнения этого пространства до гильбертова нужно присоединить функции с суммируемым (т. е. интегрируемым в смысле Лебега) квадратом модуля.
4. Евклидово и унитарное пространства в общем случае. Пусть S — евклидово пространство и е\, е2.....еп— некоторый его базис. Пусть X = хіві + х2е2 + ... + хпеп и у = у\в\ + у2е2 -f- ... ... + Упвп- Тогда, в силу билинейности скалярного произведения,
.(X1 у) = Yj Ei1X1Ijj, где gtj =(ві, Sj). В силу симметрии скалярного
произведения ga = gji, так что матрица (gi/) (называемая матрицей. Грама для базиса е\, е„) симметрична. Далее, (х, х) =
¦= Y gijxixi и> в СИЛУ требования (х, х) > 0 при х Ф О, (ga) —
положительно определенная матрица (т. е. является матрицей положительно определенной квадратичной формы). В матричной форме скалярное произведение записывается в виде X1GY, где X и У— столбцы из координат векторов х и у и G = (gn). При преобразовании координат с матрицей С скалярное произведение в новых координатах X', У запишется в виде XnCGCY', так что матрица Грама преобразуется по формуле преобразования квадратичной формы: C = C7GC В глазе V (см. стр. 153 и 163) было установлено, что положительно определенная квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратоз новых переменных, т. е.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
349
к квадратичной форме с единичной матрицей коэффициентов. Следовательно, в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором матрица Грама есть единичная матрица. Это значит, что (et, Єі) = 1 и (ei, в/) = 0 при і Ф j. Такой базис называется орто-нормальным.
Пусть теперь 5 — унитарное пространство и е1у еп— его базис. Тогда (х, у) = ]Г gt jx1i)1 = X1GY', где X и Y — столбцы из координат x и у, G=(gij), где g-,7 = (с(, es), хи ¦.., х„ и уи . .
уп — координаты векторов х и у в выбранном базисе. В этой ситуации матрица Грама G = (gij) эрмитово симметрична, ибо (ej, Єі) = (єі, в]) • Скалярное произведение имеет вид (х,х) = — 2j Sijxixi> т- е- представляется в виде эрмитовой формы от Xi, xn с матрицей G. Эта форма является положительно определенной. При преобразовании координат с матрицей С матрица Грама преобразуется в C7GC = CfGCi, где Ci = C, т. е. изменяется но формуле преобразования матрицы эрмитовой формы. Положительно определенная эрмитова форма может быть преобразована к сумме квадратов модулей новых переменных і е. к эрмитовой форме с единичной матрицей. Следовательно и в этом случае существует ортонормальный базис со свойствами (ei, с,-) = «= 1 и (е<, ej) = О при і Ф \.
В п. 6 это обстоятельство будет установлено без ссылки на алгебраическую теорию квадратичных и эрмитовых форм, но при помощи соображений довольно прозрачных при пользовании геометрической терминологией По существу же эти соображения почти равносильны преобразованию положительно определенных форм к каноническому виду.
5. Ортогонализация совокупности векторов. Векторы и у, v унитарного (или евклидова) пространства называются ортогональными, если {и, v) = 0. Из (и, v) = 0 следует, что (v, и) = 0, так как (v, и) = (и, v). Из ортогональности и и v следует ортогональность C1M и C2V при любых Ci и с2. Нулевой вектор ортогонален любому другому. Верно и обратное утверждение:
