Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Для любой унитарной матрицы А найдется такая унитарная матрица С, что C-1AC диагональна. Все собственные значения унитарной матрицы равны по модулю 1.
Эту теорему мы получим далее в качестве частного случая более общей теоремы.
2. Сопряженный оператор. Сопряженным оператором для данного оператора М, действующего в унитарном пространстве S, называется такой оператор M*, что при любых векторах х и у имеет место равенство (Mx, у) = (х, М*у).
Докажем существование сопряженного оператора. С этой целью перейдем к координатной записи. Пусть (хих2, хп)т — столбец из координат вектора х в некотором ортонормальном базисе, (уи у2, Уп)т — координаты вектора у и А = (а(/) — матрица оператора M-.
теорема:
§4]
ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
357
Тогда
(six, у) =
= (ац*і + а\2Х2 + ... + O1nXn) р{ +
+ (A21Jf1 + U22X2 + ... + O2nXn)P2 +
+ Ki*i + ап2х2 + ... + аппхп) рп = = X1(OnPi+ O2Ip2+ ••• + anipn) + + X2 (O12P1 + а22р2 + ...+ ап2рп) +
+ Xn (aXnpi + а2пу2 + ... + аппрп).
Вторые сомножители в этой сумме комплексно сопряжены с числами
ацУі + а21у2+ ... +a„iyn,
«12#1 + #22#2 + • • • + an2yn,
аіпУ\ + a2nyn + ... + annyn,
которые являются координатами вектора st*y, где оператор si* имеет матрицу
Гвц «21 • • • «Ш \ O12 O22 ... вга2 j
\й\п Uztl ... япп/
которая транспонирована и комплексно сопряжена (т. е. просто сопряжена, как мы условились на стр. 140) с матрицей оператора s4-. Итак, нам удалось построить оператор si* такой, что (six, у) = (х, Si*у).
Теперь нужно показать единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора ортонормального базиса в пространстве S.. Пусть (six, у)'=(х, si*y) и (six, у) = =.(х, 3Sy). Тогда при любых х и у будет (х, st*y) = (x, SSy), т. е. \x,.^st*y— 3Sy) = 0. Так как это выполнено при всех х, заключаем, что st*y — 3Sy = 0 при всех у, а это и значит, что si* = 38.
Итак, для любого оператора si существует единственный сопряженный оператор, и его матрица в любом ортонормальном базисе сопряжена с матрицей оператора Si.
Отметим некоторые очевидные свойства действия сопряжения операторов.
1. (st*)* = Si.
2. (st + 3S)* = st* + 3S*.
3. (est)* = est*.
4. (sl38)*=3S*sl*.
358
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XUl
Свойство 1 очевидно из рассмотрения матриц для M и М*. Это же легко проверяется и бескоординатно:
(M" х, у) = (у, М*х) = (Му, х) = (х, My).
Свойства 2 и 3 непосредственно получаются из определения сопряженного оператора. Свойство 4 проверяется, например, так: (М@х, у) = (&х, М*у) = (х, ЗГМ*у).
Для дальнейшего важно еще одно, менее очевидное свойство сопряженного оператора.
Предложение 4. Ортогональное дополнение Рх к инвариантному для оператора M подпространству P инвариантно для оператора М*.
Доказательство. Пусть у <= Рх. Это значит, что у ортогонален всем векторам из Р, в частности, всем векторам Mx при X єе Р. Это значит, что (Mx, у) = 0 и (х, М*у) = 0. Это равенство верно для всех л: є Р, следовательно, M*ye^PL.
3. Нормальные операторы. Оператор, действующий в унитарном пространстве, называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным. К классу нормальных операторов относятся самосопряженные операторы, совпадающие со своими сопряженными, и унитарные операторы, для каждого из которых сопряженный равен обратному.
В ортонормальном базисе самосопряженный оператор имеет эрмитову матрицу, а унитарный — унитарную.
Предложение 5. Если M — нормальный оператор, S — единичный и а —любое комплексное число, то оператор 38 = = M — аЖ тоже нормальный.
Доказательство. Проверим равенство $38* = 3P3I. Имеем
=(М — аЖ) (М* — Ъ.Ш) = ММ* — аМ* — аМ + aaS; 3&*3a = (М* — aS) (M — «(ЁГ) = M*M — aM — аМ* + aa&.
Поэтому &$!* = 3S*3S, ибо ММ* = М*М.
Предложение 6. Собственный вектор нормального оператора есть собственный вектор и сопряженного оператора, соответствующий сопряженному собственному значению.
Доказательство. Пусть и — собственный вектор нормального оператора М, принадлежащий собственному значению К. Тогда Mu = Ku, что можно записать как 3!и = 0, где $ = М — KS. Из равенства 3Iu = O следует, что ($и, 3Su) = 0. Но (&и, Mu) = = (и,М*&и) = (и,$38*и) = (3$*и,3$*и). Следовательно, 3J*u = 0,
откуда (М* — KS)U = O и М*и = Ku, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Для нормального оператора существует ортонормальный базис, в котором матрицы оператора и его сопряженного диагональны и их соответствующие диагональные элементы сопряжены.
¦ Доказательство. Пусть и\ — нормированный собственный вектор для нормального оператора M и Р\ — одномерное поДпро-
§4]
ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
359
странство, натянутое на вектор и\. Так как и\ является собственным вектором и для St*, подпространство Pi инвариантно и для st*. Следовательно, ортогональное дополнение Р\ к Pi инвариантно как для st, так и для si*. Ограничения операторов si и si* на P11 останутся взаимно сопряженными, ибо раз равенство {six, у) = {х, st*y) верно для всех векторов х, у пространства, оно будет верно и для векторов из Ріх. Для оператора si на Р\ найдется нормированный собственный вектор и2. Он ортогонален вектору «і. Вектор U2 будет собственным и для si*. Поэтому подпространство P2, натянутое на векторы Ui и «2, инвариантно как для si, так и для si*. Его ортогональное дополнение P2- тоже инвариантно для Si и Si*, которые на P2" останутся взаимно' сопряженными. В P2- находится нормированный собственный вектор из, который ортогонален Ui и и2, он будет собственным вектором и для оператора Si*. Продолжая этот процесс шаг за шагом, построим ортонормальную совокупность собственных векторов для Si, которая в конце концов даст базис пространства. В этом базисе матрицы операторов Si и Si* диагональны. Соответствующие диагональные элементы будут сопряжены как собственные значения операторов si и Si*, соответствующие одному и тому же собственному вектору. Теорема доказана.
