Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 140

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 168 >> Следующая


Скалярное произведение векторов в координатах в ортонор-мальном базисе имеет, очевидно, вид (х, у) = х\у\ + х^уч + ... ... + хпуп, т. е. точно такой же, как в арифметическом пространстве столбцов.

Тем самым установлен изоморфизм, с сохранением скалярных произведений, унитарного (или евклидова) пространства с арифметическим пространством столбцов.

7. Преобразование координат при замене ортонормального базиса. Напомним, что матрица преобразования координат, с которой координаты векторов в базисе е\, еч, ..., еп выражаются через координаты в базисе е[, е'2, ..., е'п, имеет своими столбцами координаты векторов е[, е'2, е'п относительно базиса еь е2, еп.

Допустим, чтоер е2, еп и е[, е2, е'п — ортонормальные базисы унитарного (или евклидова) пространства. Векторы е[, е'2.....е'п нормированы, следовательно, суммы квадратов модулей элементов столбцов матрицы равны 1. Далее, (е\, е^) = 0 при іф'и так что суммы произведений элементов /-го столбца на числа, сопряженные с элементами /-го столбца, равны 0. Следовательно, матрица преобразования координат при замене ортонор-мальных базисов унитарна (ортогональна для евклидова пространства) .

Ясно, что любая унитарная (ортогональная) матрица является матрицей преобразования координат при замене ортонормального базиса на некоторый тоже ортонормальный базис.

§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства

1. Ортонормальный базис подпространства и его дополнение до ортонормального базиса пространства. Любое подпространство унитарного (или евклидова) пространства само является унитар-

§ 2] ПОДПРОСТРАНСТВА УНИТАРНОГО ПРОСТРАНСТВА 353.

ным (евклидовым) по отношению к тому же скалярному умножению.

Пусть P есть- А-мерное подпространство «-мерного унитарного

(евклидова) пространства S. Пусть ех..... ек— ортонормальный

базис Р. Дополним его до базиса S, присоединив векторы vk+u • •.

Vn- Применим к базису еь ек, vk+i, Vn процесс ортогонализации. Первые векторы в\, ек при этом не изменятся, так как они попарно ортогональны. Получим ортогональный базис е,, ek, v'k+v v'a. Чтобы получить ортонормальный базис S, остается только нормировать векторы v'k+l, v'n.

2. Ортогональное дополнение. Пусть S есть л-мерное унитарное (или евклидово) пространство и P — его /г-мерное подпространство, 1 k SgC «— 1. Ортогональным дополнением Рх к подпространству P называется множество всех векторов из S, ортогональных всем векторам из Р. Ясно, что если векторы ортогональны всем векторам из Р, то любая их линейная комбинация обладает тем же свойством. Поэтому PL есть подпространство S.

Пусть е\, ек — ортонормальный базис P и е\, .... е*, ек+и .... еп — включающий его ортонормальный базис 5. Натянем на векторы ек+і, ..., еп подпространство Q. Любой вектор из Q, будучи линейной комбинацией векторов ек+и Sn, ортогонален векторам в\, .... ёк и, следовательно, любой их линейной комбинации, т. е. любому вектору из Р. Следовательно, Q S P1. Пусть Теперь ВеКТОр X = Х\Є\ + ... + хкек + Хк+\Єк+і + ... + хпеп е Р-Ч Тогда (х, еі) = хі = 0 при і = 1, k, так что х = xk+iek+i 4- ... ... + Хпвп є Q. Итак, любой вектор из Q принадлежит Рх и любой вектор из Рх принадлежит Q. Подпространства QhP1 совпадают.

Таким образом, ортогональное дополнение P1 к подпространству P есть подпространство, натянутое на векторы, дополняющие ортонормальный базис P до ортонормального базиса S.

Теперь легко установить следующие свойства ортогональных дополнений.

1. dim P1 = dim 5 — dim P.

Непосредственно следует из построения базиса Рх.

2. (РХ)Х = Р.

Действительно, в качестве векторов, дополняющих ортонормальный базис ек+и еп подпространства Рх до ортонормального базиса S, можно взять еь ..., ек, и натянутое на эти векторы подпространство (Рх)х совпадает с Р.

3. Если PiCiP2, то Pr1ZDP21.

Ясно из определения ортогонального дополнения.

4. (Pi +Рг)х = Pi1HP21.

Действительно, любой вектор из (Pi 4- P2)1 ортогонален всем векторам из Pi и всем векторам из P2, т. е. принадлежит Pi*APfc

854

ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА

[ГЛ. XItI

Обратно, любой вектор из Pi Л Pi ортогонален всем векторам из Pi и всем векторам из P2 и любым их суммам, т. е. принадлежит (Pi +P2) \

Перейдя в свойстве 4 к ортогональным дополнениям, получим Pi + P2 = (Pt Л Pi)1. Заменив в этом равенстве Pi и P2 . на Pi и P2, получим:

5. (Pi Л ^ = P1"+ P21.

Таким образом, переход к ортогональным дополнениям обращает отношение включения подпространств и переставляет операции сложения и пересечения подпространств.

6. S = P© P-L.

Действительно, базис S есть объединение базисов P и Р-Ч В этой ситуации говорят, что пространства S есть ортогональная сумма подпространств P и Рх.

Более общо, скажем, что S есть ортогональная сумма своих подпространств Pi.....Рк, если S = P,+ ... + Рк, причем векторы, взятые из различных подпространств, ортогональны. Ортогональная сумма всегда прямая, ибо из равенства v\ + ... + vk = = 0 при Vi^Pi следует равенство нулю всех слагаемых vi, ибо наличие ненулевых слагаемых в левой части противоречило-бы линейной независимости ненулевых попарно ортогональных векторов.
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed