Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
На языке матриц теорема о канонической форме означает, что для квадратной матрицы Л с элементами из поля ,G существует невырожденная матрица С такая, что С-1ЛС есть каноническая матрица Жордана.
Заметим еще, что характеристические полиномы — X)к жор-дановых блоков называются элементарными делителями матрицы tE — А. Этот термин связан с другим подходом к рассматриваемому вопросу, основанным на теории матриц над кольцом полиномов .CJf]- Именно, если построить наибольшие общие делители миноров порядка / матрицы tE — А, мы получим некоторые полиномы gj(t). Почти очевидно, что gj делится на gj-i. Их частные ff = gj/gf-\ называются инвариантными делителями матрицы tE — А. Примарные множители (t — K)k инвариантных делителей как раз и являются элементарными делителями матрицы tE — Л. Мы не будем на этом останавливаться.
5. Пример. Рассмотрим з заключение параграфа один небольшой пример. Пусть Л — квадратная матрица ранга 1. Ее строки пропорциональны, так что ее можно представить в виде произведения столбца B = (bx,b2, Ьп)т на CTpOKy-C = (C11C2, Cn) Оба сомножителя ненулевые. Для определенности положим, что Ь\Ф0 и с ф 0. Матрицу Л будем рассматривать как оператор левого умножения в пространстве столбцов. Пусть X = (.V1, X2, хп)т. Тогда AX = BCX = (c}xi+ C2X2+ ¦•¦ + CnXn)B.
Поэтому X = B является собственным вектором оператора st, принадлежащим собственному значению ci&i + сф2 + ... + с„Ьп. Далее, любой вектор с компонентами, удовлетворяющими требованию C1Xi + сгх2 + • • • + спХп = 0, является собственным вектором при собственном значении, равном 0. Таких линейно независимых векторов существует п—1. Пусть это будут Xx.....Xn-i.
Если X = cibi + с2Ь2 + ... + сфкф0, то векторы В, Xx, Хп-г составляют базис из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора левого умножения на Л принимает вид
/ X 0 ... О \ І 0 0 ... 0 І
\ о о ... о /
Если же сф} + с2Ь2 + ... + cnbn = 0, то вектор В попадает в пространство, натянутое на Хи Xn-i. В этом случае Л2 = = BCBC = O, ибо CB = O, т. е. Л нильпотентна показателя 2. В этом случае в канонический базис, кроме собственных векторов, нужно включить один корневой. В качестве корневого можно взять
ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД R
341
любой такой вектор X, что AX ф О, что будет, если C1Xi 4- с2х2 4- ... ... 4- с„х„фО. Можно взять, в частности, X = (I1 0, 0)т. Тогда AX = CiB. Вектор CxB нужно дополнить до базиса пространства собственных векторов. Для того чтобы обеспечить линейную НезаВИСИМОСТЬ ЭТИХ ВеКТОрОВ С ВеКТОрОМ CiS = (C)Ob ... Сфп)Т, ДОСТатОЧНО ВЗЯТЬ ДОПОЛНЯЮЩИе Векторы X2, Xn-i
с нулевой первой компонентой и с остальными, удовлетворяющими соотношению C2X2 4-...4- спхп = 0. Таких найдется п — 2 линейно независимых и не больше, ибо среди чисел с2, ..., Cn имеется хотя бы одно отличное от нуля, иначе равенство ефі 4- с2Ь2 4- ... ... 4- спЬп = 0 было бы невозможно. В выбранном базисе X, CiB, X2, ..., Xn-i матрица оператора умножения на А принимает вид
0 0 ... о-
1 о ... о о о ... о
.0 о ... о
Итак, в терминах матриц, существует такая невырожденная матрица Р, что
/Л 0 ... 0\
р-'ЛР= 0 , если A = o,c, 4- ... +Ьпсп Ф0,
.0 0
0,
или
Р~'ЛР =
/ о о ... о\
' 1 о ... о х
о о ... о
\о о ... о /
если O1C1-}- ... 4-6„с„=0.
§ 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел
Поле вещественных чисел не алгебраически замкнуто, т. е. не каждый полином с вещественными коэффициентами имеет только вещественные корни. В частности, характеристический полином матрицы может иметь корни с ненулевой мнимой частью, и таким корням не соответствует собственный вектор в исходном пространстве. Поэтому преобразование матрицы оператора к канонической форме Жордана не всегда возможно. Цель настоящего параграфа — вывести достаточно наглядную каноническую форму в этом случае.
1. Комплексификация вещественного пространства. Пусть S — векторное пространство над полем R. Погрузим его в векторное пространство 5 над полем С. следующим образом. Введем в рассмотрение формальные суммы х 4- іу при xeS, у & S. Условимся
342
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
считать, что х + iy = х"+ iy' в том и только в том случае, если X =* X и у = у'. Определим сложение по формуле (x + u/) + + (х/ + it/) = X + Xе + і (у + у') и умножение на комплексные числа по формуле (а + Ы) (х + iy)= ах — by + i(bx + ay). Легко проверить, что множество S всех x + yi, XC=S1 у є= 5, удовлетворяет по отношению к введенным действием всем аксиомам векторного пространства над полем Cj. Пространство S называется комплексификацией пространства S- Базис ех, е„ пространства S оказывается базисом и для S по отношению к полю D. Действительно, ПуСТЬ Х = Ь\Єі-г- ... + ЬпЄп, У = С\Є\-{- ... + с„еп, при
bi, c<e=R, тогда х + iy — (bx + cxi)ex + ... + (&„ + c„i)en. Поэтому комплексификация 5 «-мерного вещественного пространства 5 оказывается тоже «-мерной по отношению к полю .С:.
Векторы из S, отождествляемые с векторами из S с нулевой второй компонентой, будем называть вещественными. Векторы z = X + iy и z==x — iy, х, у є= 5, будем называть комплексно сопряженными. Легко проверить, что az = uz при а є= 'Ci и z + z' = = z + z'.
