Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
(я сознательно применил необычную индексацию: здесь в матрице коэффициентов второй индекс обозначает номер строки и первый — номер столбца). Матрица
306
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
где матрица
(d\\ ... dnl ч /Ь\\ ... Ьп\ ч ,сп ... сп] ч din ••• <*nn / \btn ... bnn J\cin ... cnnJ
В силу линейной независимости системы базисных векторов заключаем, что du = 022= ... =d„„=l и dij = 0 при і ].
(du ¦ ¦ • dn\ ч ......1 —единичная матрица, а матрицы dm ••• rfnn/
(Cl! • • • C(Jl \ /ІЦ •¦• І«] \ ..... J и J......J взаимно обратные, и потому каждая Cm ¦ ¦¦ спп/ \г>1„ ... Ъпп) из них невырожденна.
Выясним теперь, как изменяются координаты векторов при замене базиса. С этой целью обратимся к координатной записи векторов. Формулы (1) в координатах означают, что в базисе
Є\, Є2, Єп ВЄКТОр в\ имеет КООрДИИаТНЫЙ СТОЛбеЦ (Сц; C2I, ...
с„і)т, вектор C2-столбец (Ci2, с22, с„2)т, вектор
е'п — столбец (Сі„, с2„, Спп)1. Пусть вектор X имеет координатный столбец (хи х2, Xn)7 в базисе еи е2, ..., еп и столбец (х\, х'2, х'п)т — в базисе е\, е'2, е'п. Тогда х = х\е\ -f х2с2 +... ... ¦^en. Сравнивая координаты по отношению к базису е\, с2, ..., с„ в левой и правой части последнего равенства, получим
Xx = спхх 4- C12X2 + . . . + cinxn>
X2 = C2xXx + ^22*2 + • • • + с2пхп>
Хп — Сп\Х'\ + Сп2*2 + ¦ • • + СПпХ'п-
..... J называется матрицей преобразования
сп\ .. . спп /
координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях исходных координат через новые. Обратная матрица дает выражения новых координат через старые.
Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней. Таким образом, матрица, дающая выражение новых координат через исходные, контраградиентна с матрицей замены базиса или, что то же самое, координаты вектора изменяются контравариантно с векторами базиса.
Легко видеть, что матрица, контраградиентная с произведением матриц, равна произведению контраградиентных в том же по-
ПОДПРОСТРАНСТВА
зог
рядке. Действительно, ((A1A1... Am)T1 = (АІ... аіаіґ-(АТ\лТ ... UI)"
Таким образом, переход к контраградиентным есть автоморфизм в группе всех невырожденных матриц.
§ 2. Подпространства
1. Определение и размерность. Подпространством P /г-мерного пространства S называется множество векторов, образующих векторное пространство по отношению к действиям, которые определены в S. Иными словами, подпространство есть множество векторов, содержащее вместе с любым конечным множеством векторов все их линейные комбинации. Подпространство /г-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит п. Действительно, любая линейно независимая совокупность векторов из P будет линейно независимой и по отношению к S, так что максимальное число линейно независимых векторов из P не превосходит и, т. е. dim P ^ dim 5.
Если dim P= dim S = л, то P = S. Действительно, в этой ситуации базис P есть линейно независимая совокупность векторов, содержащая п элементов, т. е. она максимальна, базис P есть вместе с тем базис S, и следовательно, подпространство P совпадает с S.
В любом пространстве S существуют два тривиальных подпространства— само 5 и подпространство, состоящее только из нулевого вектора. При п > 1 имеются и нетривиальные подпространства. Строить их можно так. Взять любую конечную совокупность векторов Uu ..., ит и ввести в рассмотрение множество всех их линейных комбинаций CiUi -f- ... + cmum. Это множество, очевидно, есть подпространство. Его размерность равна т, если и\, •••, um линейно независимы, и меньше т, если они линейно зависимы. Поэтому в /г-мерном пространстве существуют нетривиальные подпространства всех возможных размерностей, от 1 до п — 1.
В силу предложения 7 предыдущего параграфа базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.
2. Сумма и пересечение подпространств. Пусть PnQ — два подпространства пространства 5. Их суммой P-J-Q называется множество векторов X -f- У при х^Р и у gQ. Ясно, что любая линейная комбинация векторов из P -+- Q принадлежит P + Q, так что P -+- Q есть подпространство пространства S (быть может, совпадающее со всем S). Далее, пересечение Pf)Q подпространств P и Q, т. е. множество векторов, принадлежащих одновременно P и Q, есть, очевидно, подпространство (быть может, состоящее только из нулевого вектора).
308
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
Ясно, что подпространства PnQ содержатся в P-J-Q и P-f-Q содержится в любом подпространстве, содержащем PnQ. Иными словами, P + Q есть наименьшее подпространство, содержащее PaQ. Пересечение Pf[Q содержится в P и Q, и любое подпространство, содержащееся в P и Q, содержится и в P Л Q- Это значит, что P П Q есть наибольшее среди подпространств, содержащихся в
Теорема 1. dim (P H- Q)+dim (P f| Q)= dim P-f- dim Q. Доказательство. Обозначим P-T-Q = PhPHQ = T'. Размерности подпространств будем обозначать соответствующими малыми буквами.
