Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Именно, 03 + 03 = 2л:3 + 2jc3 + 2л:3 - 3 (х\х2 + ...) + 12X1X2X3 = = 2fil — 9fJ2+27f3. Симметрическим оказывается не только 0302, «о и G1O2 = х\ + х\ + х\ - X1X2 - X1X3 — X2X3 = f2 — Sf3.
Таким образом, 03 и 03, определяются как корни квадратного уравнения с известными коэффициентами. Затем 0i и 02 находятся шосредством извлечения кубического корня, причем значения корней нужно согласовать так, чтобы произведение 0i02 равнялось Л— З/з- Далее, Х\, х2, Xi находятся посредством решения линей-мой системы
Xl + X2 + X3 = /і,
Xi + x2p + x3p2 = Qu Xi +х2р2+ X3P = Q2,
которая дает *, = y(/i + 0i + 02), x2 = j (fi + 9iP2 + 02р), X3 =
= 4<^ + 6,P-t-O2P2).
Легко видеть, что это решение ничем не отличается от решения но формуле Кардано.
Пусть теперь п = 4. В качестве Fi возьмем XiX2 + X3X4. Политом Fi не меняется при восьми подстановках, составляющих под-труппу индекса 3 в симметрической группе S4. Другие подстановки переводят F1 в F2 = XiX3 + х2х4 и F3 = XiX4 + х2х3. Симметрические полиномы от Fi, F2, F3 будут симметрическими и ОТ Xi, X2, х3, х4. Именно, основные симметрические полиномы будут:
Fi + F2 + F3 = f2,
FiF2 + F1F3 + F2F3 = Uh - 4/4,
Ws = f?/4 + ?-4y4.
Считая, что jc1, х2, jc3, jc4-KOpHH полинома Xі + а{х3 + а2х2 + 4- a3jc -(- а4, мы можем составить кубическое уравнение для Fb
294
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
(ГЛ. Xt
F2, F3. Найдя один из корней /7I = X1X^x3X4, мы в состоянии; найти Xi, х2, х3, Х4, решая цепочку квадратных уравнений. Получается способ, совпадающий со способом Феррари.
Известный под названием метода Эйлера способ получим, если? возьмем F1 = (X1 + X2-X3- X4)2 = /2-4/2 + 4 (X1X2 + X3X4). Полином Fi не меняется при той же группе из восьми подстановок, что и XiX2 + Х3Х4. Подстановки из классов смежности группы s4 по-этой подгруппе переводят Fi в F2 = (Xi—X2+ X3 — X4)2 и F3 = = (xi — X2 — X3+ Х4)2. Выражения основных симметрических полиномов от Fi, F2, F3 дают:
/, + F2 + F3 = 3/2-8/2,
F1F2 + F1F3 + F2F3 = 3ft - 16/2/2 + 16/1 + IQfJ3 - 64/4,
F1F2F3 = (P1-AfJ2 + Sf3Y,
причем симметрическим оказывается и
(X1 + X2-X3- X4) (X1 - X2 + X3 - X4) (^1-X2-X3+х4)=/з-4/1/2+8/3„
Таким образом, значения полиномов Fi, F2, F3 от корней полинома X4+ «ідс3 +- а2х2+ а3х+ й4 оказываются корнями кубического уравнения с известными коэффициентами. Найдя F1, F2, F3^ нужно извлечь из них квадратные корни, распорядившись знаками корней так, чтобы их произведение равнялось /3 — 4/,/2 + 8/3_
Корни X1, х2, х3, Х4 найдем из системы линейных уравнений. Получим
Xi = |(/і + л/К + л/К + V^s).
х2 = i (/, + VK -л/К- л/К), х3 = j (/1 - л/К + -/К - л/К), х1=\{и-л/К-л/К+ л/КУ
Тонкий анализ близких идей привел Руффини и Абеля к доказательству неразрешимости в радикалах общих уравнений пято» и выше степени. Мы не будем касаться этого трудного вопроса.
§ 3. Результант
1. Определение результанта при помощи симметрических полиномов. Для двух полиномов /(х) = а0хп + U1X"-1 + .. . + ап и g(x) = ЬцХт + bixm~l + ... + bm, O0 Ф 0, bo Ф 0, можно построить полином от их коэффициентов так, что обращение его в нуль происходит в том и только в том случае, когда / и g не взаимно просты, т. е. если они имеют общий корень в надлежащем расширении; основного поля.
•»з]
РЕЗУЛЬТАНТ
295
Пусть Х\, X2.....Xn — корни полинома f. Симметрический полином g(xi)g{x2) ... g{xn) от Xu х2, Xn обращается в нуль в том и только в том случае, когда один из корней полинома f является корнем полинома g. В высший член этого полинома х\ входит с показателем т, поэтому a™g (X1^g(X2) ... g(xn) является їіолиномом от коэффициентов f и, очевидно, полиномом от коэффициентов g. Этот полином называется результантом полиномов / и g и обозначается R(f, g).
Определение результанта кажется не симметричным по отношению к полиномам / и g. В действительности это определение «почти симметрично», именно, R{g, f) = (—\)mnR(f, g). Для доказательства этой формулы введем в рассмотрение корни у\, у2, ... ..., ут полинома g, так что g{x) = b\{x — у\) (х — у2) ... (х — ут)-. Тогда g{x{)g{x2).. .g{хп)=ЬЩ(х{~у>,) и =
= (-1)^4^0^(^/-*!).
Далее, а0 Ц{у, -x,) = f {у,), так что R(f,g) = (-\)тпЬп0 П f (уJ=
= (-1)""1 W f).
Отметим еще некоторые свойства результанта. Прежде всего ¦ясно, что результант является однородным полиномом степени п от коэффициентов полинома g и, в силу соотношения R(g,f) = = (—\)mnR(f, g), однородным полиномом степени т от коэффициентов полинома /.
Далее, назовем весом одночлена «""а™1 ... я™"^0^?1 • • • ^m число ai -f- 2а2 + • • • + пап -f ?i + 2?2 + • • • + tn$n- Ясно, что
веса коэффициентов ах.....ап равны степеням соответствующих
-основных симметрических полиномов от xi, xi, ..., Xn и веса Ьи Ьт равны степеням соответствующих основных симметрических полиномов от ух, Уі.....ут, веса же Uq и Ь0 считаются
равными нулю. Поэтому вес одночлена а"00"1 • • • апп^о0^1 • • • ьтт равен полной степени этого одночлена, рассматриваемого как полином от xi, X2,,..,хп, f/i.t/2,...,ут. Но результанта0Ь0 JJ{.X1 — у,)
