Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование векторных пространств составляет содержание линейной алгебры.
В приложениях линейной алгебры к другим математическим дисциплинам рассматриваются преимущественно векторные пространства над полями „С и R. В теории информации полезными оказываются векторные пространства над конечными полями, особенно над полем GF (2) из двух элементов.
Отметим еще свойства нуля векторного пространства.
1. 0-м = 0. Действительно, 0-и + 0-и =(0 + 0)и = 0-и. Добавив к обеим частям этого равенства элемент, противоположный к 0-и, получим 0-а = 0.
2. с-0 = 0. Действительно, с-0 + с-0 = с(0 +0) = с-0, откуда с-0 = 0.
3. Если си = 0, то либо с = 0, либо и = 0. Действительно, если сфО, то существует с-1 и c~lcu = C-1O = 0, т. е. и = 0.
С (Ui + U2) (C1 + C2) и
Ci (с2и) 1 • и
CUi + CU2, CiU + C2U, (C1C2) и,
и,
302
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГГЛ. XII
2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. Линейной комбинацией векторов U\, и2, ..., ит из 5 называется вектор c\U\-\- C2U2+ ... + стит при с(-е К. Ясно, что
линейной комбинацией линейных комбинаций векторов и\.....ит
является снова линейная комбинация этих векторов.
Совокупность векторов и\, .-, ит называется линейно независимой, если равенство C\U\+ ... + стит = 0 возможно только при Ci= ... =ст = 0. Если же существуют не равные одновременно НуЛЮ С], Ст Такие, ЧТО Сі«і+ ... +CmIIm = O, ТО СОВОКУПНОСТЬ векторов Ui1 • •., ит называется линейно зависимой. Определения эти совпадают с определениями, данными на стр. 108 в применении к строкам.
Предложение 1. Совокупность векторов Uu ¦-, Um линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Предложение 2. Если СОвОКуПНОСТЬ векторов Uu Un
линейно независима, а совокупность и\,..., um, um+i линейно зависима, то вектор Um+i есть линейная комбинация векторов
Ul, . . . , Um-
Предложение 3. Если векторы v\, •••, i>* являются линейными комбинациями векторов щ, ит и k> т, то совокупность Vu ..., Vit линейно зависима.
Доказательства этих предложений ничем не отличаются от доказательств аналогичных предложений для строк (стр. 108—ПО).
Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы пространства являются их линейными комбинациями. Если для пространства S существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерным, в противном случае — бесконечномерным. В конечномерном пространстве не могут существовать сколь угодно большие (по числу векторов) линейно независимые совокупности векторов, ибо, согласно предложению 3, любая совокупность векторов, превосходящая по числу векторов порождающую совокупность, линейно зависима.
Пространство матриц фиксированных размеров и, в частности, пространство строк фиксированной длины конечномерны, в качестве порождающей системы можно взять матрицы с единицей на одной позиции и с нулями на остальных.
Пространство всех полиномов от х уже бесконечномерно, ибо
совокупность полиномов 1, х, X2.....хп линейно независима при
любом п.
В дальнейшем будем рассматривать конечномерные пространства.
Предложение 4. Любая минимальная (по числу векторов) порождающая совокупность векторов линейно независима.
Действительно, пусть ии •••> Un-минимальная порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из векторов, скажем ип, есть линейная комбинация остальных их,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
303
..., Un-I и всякая линейная комбинация щ, и „-и ы« есть линейная Комбинация Меньшей СОВОКУПНОСТИ веКТОрОВ Uu • Un-U
которая тем самым оказывается порождающей.
Предложение 5. Любая максимальная (по числу векторов) линейно независимая совокупность векторов является порождающей.
Действительно, пусть Uu • ••> Un — максимальная линейно независимая совокупность и и — любой вектор пространства. Тогда совокупность Uu ¦ ип, и не будет линейно независимой, и, в силу предложения 2, вектор и есть линейная комбинация щ, ...., ип.
Предложение 6. Любая линейно независимая порождающая совокупность является минимальной среди порождающих и максимальной среди линейно независимых.
Действительно, пусть Uu Un — линейно независимая порождающая совокупность векторов. Если Vu ¦ Vk — какая-то другая порождающая совокупность, то Uu--., Un являются линейными комбинациями v\, ¦¦¦> vk, и отсюда заключаем, что п 5? k, ибо если было бы п > k, то, в силу предложения 3, Uu ... ..., ип была бы линейно зависимой совокупностью. Пусть теперь W\, •••> — какая-либо линейно независимая совокупность. Векторы Wu - -, wm являются линейными комбинациями векторов «і, ..., Un и, следовательно, пг^п, ибо при m > п, в силу того же предложения 3, Wu •••> составляли бы линейно зависимую совокупность.
Таким образом, в предложениях 4, 5, 6 устанавливается тождественность трех понятий — минимальная порождающая совокупность векторов, максимальная линейно независимая совокупность векторов и линейно независимая порождающая совокупность.
