Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
/(*, У) = о, g(x,y) = 0,
где / и g—полиномы степеней п и т соответственно. Будем предполагать, что коэффициенты полиномов принадлежат алгебраически замкнутому полю и решения разыскиваются в этом поле. (Заметим, что алгебраически замкнутое поле даже в случае ненулевой характеристики содержит бесконечно много элементов. Действительно, к любой конечной системе элементов OCl, CC2, .. - , Ct/»-можно присоединить новый элемент, например, корень полинома \(х — «i) (х — Gt2) ... (х — ап)+1.)
Пусть Сохп + С\хп-Ху + ... + спу" — однородная часть степени п полинома f(x, у). Возможно, что Со = 0. Сделаем «перекос оси абсцисс» посредством замены неизвестной у на у'' = у — ах (новая ось абсцисс yf = 0 имеет в исходных координатах х, у уравнение у — oc,v = 0). Коэффициент при хп станет равным C0 + + C1Cc + ... + с„ос", и ос можно выбрать так, что a0=c0+Cia+ ... ... +с„апФ0 (это требование налагает конечное число запретов.
¦*зі
РЕЗУЛЬТАНТ
299
*а выбор а). Одновременно можно добиться того, что коэффициент яри хт в g(x, у) станет отличным от нуля. В дальнейшем мы еще наложим некоторые запреты на выбор «коэффициента перекоса» а. Ясно, что решение системы
fix, у) = О, g{x, У) = О
« решение системы после замены у на у' + ах тривиально сводятся одно к другому, так что можно с самого начала считать, что коэффициенты ао и Ь0 при хп в полиноме Цх, у) и при хт в полиноме g(x, у) отличны от нуля.
Итак, пусть f(x, у) = aQxn + a, iy)xn~* + ... + апіу) и gix, у) = = Ьохт H- bxiy)xm-x + ... +bmiy), айфО, Ь0фО. Так как степень fix, у) равна п, степени полиномов aiiy) не превосходят /. Соответственно, степени bj(y) не превосходят /. Составим результант Rxif, g), рассматривая f я g как полиномы от х с коэффициентами, зависящими от у. Этот результант является полиномом Fiy) от у, степень которого не превосходит тп, что следует из того, что вес каждого члена результанта равен тп. Допустим сначала, что результант не равен нулю тождественно. Тогда он имеет конечное число корней, не более чем тп. Подставив любой корень результанта в полиномы fix, у) и g(x, у), мы получим полиномы от одного неизвестного х, результант которых равен нулю. Значит, они имеют общие корни, каждый из которых, вместе со значением для у, дает решение системы. Легко видеть, что все решения находятся на этом пути. Действительно, если х\, у\ — решение системы, то зависящие только от X полиномы fix, yi) и gix, у\) имеют общий корень jci, и, следовательно, их результант равен нулю, т. е. у\ является корнем результанта F iy) = Rxif, g).
Таким образом, система fix, у) = 0, g{x, у) ==0 имеет конечное число решений (хі,уі). Для оценки их числа наложим дополнительные ограничения на коэффициент перекоса а. Именно, потребуем, чтобы в новых неизвестных все решения имели различные ординаты.
Это приводит снова к конечному числу запретов для ос, именно, запрещены равенства yi — axi = у\ — ах/. При таком выборе а для каждого у' найдется только одно значение для х. Так как число корней результанта не превосходит тп, то и число решений системы не превосходит тп.
Если же результант Rxif, g) равен нулю тождественно, то для любого у найдется соответствующее значение для х, так что система будет иметь бесконечно много решений.
Причиной этого является наличие в этом случае нетривиального общего делителя ф(х, у) у полиномов fix, у) и gix, у), и любое решение уравнения ф(х, у) = О дает и решение системы.
5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и «го производной. Наличие кратного корня у полинома fix) =
300
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
(ГЛ. Xt
= а0хп + а\хп~х + •¦• + ап равносильно наличию общего корняз f(x) и его производной. Поэтому обращение в нуль R(f, f) равносильно обращению в нуль дискриминанта. Следовательно, R(f, f')> и D(f) должны быть тесно связаны. Найдем эту связь. Пусть f(х)== а0(х— х{)(х — X2) ... (х — хп). Тогда
... (X1-Xn) (X2-Xi) ... (X2-Xn) ... (Xn-Xi) ... (Xn-Xn-I )-
Каждая разность Xt — X/ входит в полученное произведение два раза с противоположными знаками. Поэтому
f'(Xi)= U0(Xi-X2) ... (Xi-Xn), P(X2)= CL0(X2-Xx) (X2-X3) ... (х2 — х„),
/' (х„) = а0 (хп — Xi) (хп — X2) ... (х, Следовательно,
¦п " Xn-\) .
R(f, Г) = a%-lP (Xi) Ґ (X2)... Р(хп) = а1^(Х]
(Х\ хъ) • • •
R(f, /') = «ГЧ-і) 2 П^-*,)2-=^(-1) 2 D(f).
Тем самым предполагаемая связь установлена.
ГЛАВА XII
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определения и простейшие свойства
1. Определение и примеры. Напомним (стр. 75), что векторным пространством S над полем К называется аддитивно записанная абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля К, удовлетворяющее требованиям:
где с, С\, с2, 1—элементы поля Л', и, Uu и2 — элементы векторного пространства. Элементы векторного пространства будем называть векторами, элементы поля К для краткости будем называть числами (хотя они могут иметь другую природу).
Примерами векторных пространств над полем IR вещественных чисел могут служить множества векторов на плоскости или в пространстве. Другие (уже над любым полем К) примеры — матрицы фиксированного строения, в частности, строки и столбцы с элементами из поля К, полиномы от одной (или нескольких) букв с коэффициентами из поля К, полиномы ограниченной степени с коэффициентами из поля Л'.
