Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
«есть однородный полином степени тп относительно Xx, X2.....Хп,
У и Уч, Ут- Поэтому веса всех одночленов, составляющих результант, одинаковы и равны тп.
В качестве примера приведем результант полиномов f =» а0х2 ~\--r-uix+a2 и g = box2 + bxx-f- Ъ2. Вычисления здесь не представляют труда, и мы выпишем результат этих вычислений:
Я (f, g) = «0*2 — аоаіЬА + aoaib2i — 2aaaihb2 + а\КК — 0¦Xa2O0O1 + а\Ь\.
2. Другой способ построения результанта. Для взаимной прос тоты полиномов
/ = аоХп + ахх"-1 + ... + а„ и g = boxm + byxm-x + ... + Ьт
296
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
[ГЛ. X»
необходимо и достаточно, чтобы не существовало отличных от нуля полиномов р и q, степени которых меньше тип соответственно, и таких, что pf + qg = 0. Действительно, если fug взаимно просты, то из равенства pf + qg = 0 следует, что р делится на g и q делится на f, а это при сделанных ограничениях на степени возможно только при р = 0 и q = 0. Если же f и g не взаимно просты и d Ф const — их общий делитель, то можно взять
p-i- «—¦J-
Попытаемся найти полиномы р и q способом неопределенных коэффициентов, т. е. найдем уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты полиномов р и q.
Пусть
P = C0X"1-1 + CxXn-I + . . . + Cm-I,
q = d0xn~l + dxxn~2 + ... +dn-x.
Будем считать, для определенности, что m^Ln. Приравнивая к нулю коэффициенты при степенях х в полиноме pf + qg, получим систему т + п линейных однородных уравнений относительно
Со, ст—1, d0, dn—l'.
а0с0 + b0d0 = 0,
O1C0 + Oi0C1 + bxd0 + Mi = 0,
U11Cm-I + bmd„_! =0.
Матрица M из коэффициентов равна
а0
а2 «і «о
этой системы, как легко видеть, Ь„
ь2 fci ьо
om-i вщ-2 вт-з ... в0 Ьт-\ Ьт-2 Ьт-з •¦• Ь0
ат «т-1 «т-2 ... Oi ьт ьт-1 ьт-2 • • • *1
.............. Ьт Ьт—1 ••• *2
О-п On-I Оп-2 ... вп—т+1 ......
Un вп-1 ... ап-т+2 .....
...... Ьт
Элементы выше а0 и Ьо и элементы ниже ап и ниже ftm все равны нулю.
Для существования отличных от нуля полиномов р и q, т. е. для того чтобы полиномы f' и g были не взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы detA? = 0. Таким образом, det M играет такую же роль, как результант R(f, g).
Теорема 1. detM = R(f, g).
РЕЗУЛЬТАНТ
297
Сперва предположим, что'хг попарно различны. Умножим матрицу M слева на матрицу:
L =
т+п-1 т + п-1
I2
хп~1
,«-1 X2
„n-l
Определитель этой матрицы равен
(-1)"
X1 X2
хп'1
X1 1 Xo 1
хп 1
Ф о.
При выполнении умножения L на M примем во внимание, что Получим:
LM =
1S(X1)
Xf-2S(X1)
¦ S(Xi)
0
X2
[8(-Ч)
Xf2S(X2)
¦ S(X2)
хп"
'«Ы
<Л(ха) ¦¦
• S(Xn)
Ьа
Ьо
Om-I Ят-2 ... во
Ьт-1
Ьт-2
. Ьа
В нижних клетках выше оо и выше Ьо находятся нули. Поэтому
1 1
det LM = (- 1ГЧ> g (X2) ... g (Xn)
„«-1
-2
X1
*l
„rt-1
-2
A2
•*2
n-l
-2
xn
1
Поделив обе части равенства на det L ф О, получим
detM = a«g(ж,)?(X2) ...g(Xn) = P(/, g).
Равенство detM = P(f, g) установлено в предположении, что Xu х2, Xn попарно различны, а это равносильно тому, что дискриминант D(f) полинома f отличен от нуля.
Итак, det M и R (f, g) оба являются полиномами от коэффициентов / и g и они принимают одинаковые значения при условии, ¦что полином D(f) отличен от нуля. По предложению о несущественности алгебраических неравенств (стр. 71) det M и R(f,g)t равны тождественно.
298
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
ГГЛ. Xt
3. Линейное представление результанта. Пусть полиномы /Hg взаимно просты, так что их результант отличен от нуля. Тогда существуют такие полиномы р и q, что pf+qg = 1. Если потребовать, чтобы степени q и р были меньше, соответственно, степеней / и g, то такие q и р определены однозначно. Положив, как в предыдущем ПуНКТе, р == C0X"'-1 + . . . + Cm-I И O = U0X«-1 + . . .
... + мы получим для определения коэффициентов систему линейных уравнений с матрицей M и со столбцом в правой части,, состоящим из нулей, кроме последней компоненты, равной 1. По» формулам Крамера коэффициенты Cq, ст-\ являются частными от деления первых т алгебраических дополнений последней строки определителя матрицы M на det M = R(f, g), а коэффициенты d0, dn-\ суть частные от деления на detM алгебраических дополнений с номерами от т + 1 до п элементов последней строки. Положив (det M)р = Р, (det M)q = Q, получим, что» коэффициенты PhQ будут полиномами от коэффициентов / и g, и имеет место равенство
Pf+ Qg = R(f, g).
Ясно, что полином P равен определителю матрицы, получающейся из матрицы M заменой первых т элементов последней строки на хт~1, хт~2, 1, а остальных — на нули. Соответственно, полином Q равен определителю матрицы, получающейся из Af заменой первых т элементов последней строки на нули, а последующих— на je"-1, хп~2, ...,1.
4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Пусть дана система уравнений
