Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
dim siS = dim S — dim ker si.
2. Изменение матрицы оператора при преобразовании координат в пространствах SuT. Пусть в пространствах SnT базисы е......еп и /i, ..., fm заменены на базисы е[, ...,е'п и f\, f'm.
Соответствующие этим заменам матрицы преобразования координат обозначим через С п В, столбцы из координат векторов х и у = six в исходных базисах обозначим через X и У, в преобразованных— соответственно, X' и У. Матрицу оператора si обозначим А. Тогда Y=AX, X = CX', Y = BY', так чтоУ'==Б-'У. Следовательно, Y' = B-1Y = B^1AX = B-1ACX'. Поэтому матрицей оператора si по отношению к новым базисам является матрица A' = B-1AC
3. Каноническая форма матрицы линейного отображения.
Прежде всего заметим, что размерность образа SiS равна максимальному числу линейно независимых векторов в порождающей это пространство совокупности векторов sie\, sien, т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы А оператора si. Таким образом, dim siS = г, где г — ранг матрицы А.
В силу соотношения между размерностями ядра и образа, отсюда следует, что dim ker si = п — г.
Пусть е\, ег — какой-либо базис S относительно кет si. Тогда векторы sie\, sie, образуют базис siS. Действительно, эта совокупность векторов порождает siS, ибо любой вектор из S есть линейная комбинация е\, ..., е, с точностью до слагаемого из ker si, и поэтому любой вектор из siS есть линейная комбинация siei, sie,. Вместе с тем векторы siex, sie, линейно независимы, ибо из cxsie\ + ... 4- c,sier = 0 следует si(c\e\ 4- ... ... + с,е,) = 0, откуда С\Є\ 4-... + с,е, <= ker si и C1 = ... = с, = *= 0 в силу определения относительного базиса. Пусть е,+\, ...
316
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XH
еп — какой-либо базис ker.s#. Тогда ei, er, vr+u е« можно принять за базис пространства S. В пространстве T линейно независимую совокупность Meit ..., s4-e, дополним каким-либо образом до базиса Т. Обозначим gi = «я?<?і, gr = зФег и через gr+u gm — какие-либо векторы, дополняющие gl, gr до базиса Т.
В выбранных базисах матрица оператора А есть:
/ Ег 0Г< п-г \
V Om-г, г 0т_Г) п—г )
Здесь Ег — единичная гХ^-матрица, О,, „-r, 0m_r, г и 0m_r, п-г — нулевые матрицы указанных размеров.
Полученному результату можно придать следующую форму на языке теории матриц. Ввиду того, что любую m X «-матрицу А можно принять за матрицу линейного оператора из л-мерного пространства 5 в m-мерное пространство Т, для любой m X «-матрицы можно найти такие невырожденные m X m-матрицу В и п X «-матрицу С, что
В-'AC-(I' S),
где г — ранг матрицы А. Это равенство можно переписать и так:
А==В(оГ о)С°' где С« = <?"'.
Пусть B = (Bi, B2), где Bi — матрица, состоящая из первых г столбцов матрицы В, матрица B2 составлена из остальных m — г
столбцов В. Соответственно, пусть C0 = ( ) , где Ci составлена из
первых г строк матрицы C0, a C2 составлена из остальных п — г строк. По правилу умножения матриц, разбитых на клетки, получим
A = (Bi, В2)(Е0' u)(g)-(fl.. 0)(g)=A,C
Итак, мы получили, что любая m X «-матрица ранга г может быть представлена в виде произведения m X /"-матрицы В{ на г X «-матрицу Ci. Обе эти матрицы имеют ранг г, ибо у матрицы B1 столбцы линейно независимы, а у матрицы C1 — строки.
4. Линейные действия над операторами. Пусть si- и Ш — линейные операторы, действующие из /г-мерного пространства 5 в m-мерное пространство Т. Определим линейную комбинацию операторов формулой
(cis4 -4- с2<8) л = cxs4-x -f- с2@х.
Ясно, что по отношению к этому действию операторы образуют векторное пространство. Выбор базисов в S и Г задает изоморфизм пространства операторов и пространства m X «-матриц. Поэтому размерность пространства операторов равна т.п.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
317
5. Умножение линейных отображений. Пусть даны три пространства Si, S2, S3 и даны линейные отображения: отображающее Si в S2, и si, отображающее S2 в S3. «Сквозное» отображение Si в S3, т. е. отображение, действующее на векторы из Si по формуле si(B?x), называется произведением st-$ отображений si- и BS. Обращаю внимание на то, что первым действующим на х оказывается правый множитель, и затем на результат действует левый множитель. Такой порядок обусловлен левой записью: оператор расположен слева от объекта, к которому он применяется.
Пусть в Si, S2, S3 выбраны базисы. Пусть по отношению к этим базисам операторы si и & имеют матрицы А и В, и пусть X — столбец из координат вектора х е Si. Тогда столбцом из координат вектора BSx будет BX и столбцом из координат вектора sitMx будет АВХ. Таким образом, произведению операторов соответствует, по отношению к выбранным базисам, произведение матриц.
Ясно, что для умножения операторов и взятия их линейных комбинаций верны соотношения билинейности:
(CiSi1 + C2^2) BS = CiSixM + C2Si2^,
si (Ci&i + C2^2) = C1SiBS1 + C2SiBS2.
6. Обращение невырожденных линейных отображений. Линейное отображение пространства S в пространство T называется невырожденным, если образом st- является все пространство T и ядро si состоит только из нуля, так что из равенства six = 0 следует х = 0. Невырожденное отображение взаимно однозначно, так что существует обратное отображение Si-1. Из линейности si следует, линейность si-1. Действительно, si-1 (схх -f- с2у) есть такой вектор г єн S, что siz = CiX + с2у. Пусть u = si~lx и v = si~lyt т. е. siu = х, siv — у. Тогда siz = cxsiu + c2siv = si (c{u + c2v) и, следовательно, z — ciu — c2v = О, ибо ядро Si состоит только из нуля. Итак, si'1 (CiX + с2у) = С\и + c2v = CxSi-1X + с2зф-ху. Линейность si-1 доказана.
