Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Выполнив сложение по і, получим в качестве коэффициента при хп-\-к выражение
где Si, S2, ... обозначают суммы соответствующих степеней хи х2, Xn- Приравнивая это выражение к коэффициенту при xn~l~k в Y(х), получим:
Sm-fiSr-i+ fa*-*— ... +(-1)*-7*-1«1+(-1)М* =
= (- l)*(n-k)h,
откуда
e*-/,s*-i + /is*-.- ,,, +(-1).^-151+(-1)^ = 0,
k = 1, л — 1,
ЗНАЧЕНИЯ ОТ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
29!
Эти формулы Ньютона позволяют последовательно выражать степенные суммы sk через основные симметрические полиномы для k от 1 до л — 1.
Для п аналогичные формулы выводятся еще проще. Умножив равенство х? — /,xf_1 + ... + (— 1)"fn = 0 на хк~п, получим
*?-f +... + (-!)"/„*?-" = 0.
Просуммировав по І, получим:
Sk- f IS k-i + ... +(— l)nfnSk-n = 0.
3. Дискриминант полинома. Дискриминант полинома, говоря неформально, есть полином от его коэффициентов, обращение в нуль которого является необходимым и достаточным условием существования кратного корня. В качестве полинома от корней, обращающегося в нуль при наличии кратного корня, естественно взять произведение всевозможных разностей корней или, что то же самое, определитель Вандермонда от корней. Но этот полином не симметрический, он меняет знак при нечетных подстановках корней. Его квадрат (хх — X2)2Ui — х3)2 ... (хп-\ — х„)2 будет уже симметрическим полиномом. Буква Xi входит в высший член этого полинома с показателем 2п— 2. Поэтому a2"-2 (X1 —- X2)2 ... . ..(хп-1 — Xa)2 является полиномом от коэффициентов полинома /(х)== O0X"+AiX"-1 + ... + ап, если вместо букв Xi, X2, . . ., Xn подставить корни полинома. Этот полином и называется дискриминантом D(f) полинома f(x).
Подсчитаем дискриминант для п = 2 и п = 3. При п = 2 бу-
дет D (/) = al(xx - X2)2 = al(f2 - 4f2) = а\(4 - —) = а\ - 4а0а2,
гак что мы получили хорошо известный дискриминант квадратного трехчлена.
При п = 3 имеем D (/) = al (X1 — X2)2 (х, — X3)2 (х2 — X3)2. Этот
симметрический полином мы выразили через основные в качестве последнего примера в п. 4 § 1. Было получено:
(*, - О2 (*i - *з)2 (*2 - *з)2 = ПП - Щ3 - Щ + 18Щ3 - 21% Подставив вместо xi, х2, X3 корни полинома /(х) = uoX3-f- uix2-f-
+ A2X + ?3, ПОЛУЧИМ
(X1 - X2)2 (X1 - X3)2 (X2 - x3)2=#-^1-4+18^1-27 4, откуда
D (f) = а\а\ — 4а\а3 — Aa3A0 + 18а0аха2а3 — 21а\а\. Для полинома f(x) = х3 + px-f- q будет
/)(/) = -4^-27^ = -108(^-
292
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
(гл. XI
так что дискриминант в этом случае лишь множителем —108 отличается от выражения, находящегося под знаком квадратного корня в формуле Кардано.
Дискриминанты полиномов более высокой степени имеют, при явном выражении через коэффициенты, очень сложный вид. Однако существуют представления дискриминанта в виде определителя. Одно, самое простое в теоретическом плане, представление получается так:
1
== а,
2п-2
2
—
1
1
.. І
Xl
X2
• • %п
X2I
X2
X2
хГ
„л-1 л2 .
ха • • хп
X2 Xx
„л-1
хп~1
X2
1
Воспользовавшись тем, что произведение определителей равно определителю произведения их матриц, получим:
П Sl S2 ... Sn-I
51 S2 S3 ... Sn
52 S3 S4 ... Sn+]
Dф = а2"-2
Sn-I Sn Sfi+i
S2n-2
где St — сумма степеней корней.
Существуют более удобные для вычислений представления дискриминанта в виде определителя, но мы не будем на этом останавливаться.
4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. Пусть F(Xu X2, ...
Xn) — некоторый полином от Xi, х2, Xn. Под действием некоторых подстановок букв хх, х2, хп он может не изменяться. Ясно, что множество подстановок, не меняющих данный полином, образует группу. Эта группа H является подгруппой всей симметрической группы Sn, и ее индекс k равен числу различных полиномов F = Fi, F2, Fk, которые можно получить из полинома F посредством подстановок х\, х2, Xn. Под действием этих подстановок полиномы Fi, F2, ..., Fk перемещаются так же, как левые классы смежности группы Sn по подгруппе H при умножении на элементы из Sn справа. Поэтому любой симметрический полином от Fi, F2, Fk есть вместе с тем симметрический полином от Xi, X2, Xn, так что если вместо Xi, х2, Xn подставить корни данного полинома f(x) = хп 4- aixa~x 4- ... 4- ап, то соответствующие значения полиномов Fx, F2, Fk будут кор-
ЗНАЧЕНИЯ ОТ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
293
яями полинома степени k с коэффициентами, выражающимися в виде полиномов от коэффициентов аь а2, ап полинома /.
Рассмотрим в качестве примера применения этих идей вопрос «б алгебраическом решении алгебраических уравнений /(jc) = 0 ПрИ я = 3ия = 4в поле комплексных чисел.
Пусть п = 3. Рассмотрим полином 9] = Х\ + х2р + х3р2, где •;Р = е2л'73 — первообразный корень степени 3 из единицы. При круговых подстановках Xi, х2, Хг полином 0i приобретает множители р и р2 и, следовательно, 03 при этом не меняется. Круговые подстановки образуют подгруппу индекса 2 в симметрической группе ^S3, и представителями классов смежности можно считать 1 и транспозицию (х2, X3). Она переводит 0і в G2 = Xi + х2р2 + х3р и, соответственно, 03 в б3,. Поэтому б3 + 6?, и 030| являются симметрическими полиномами от хх, х2, х3.